Analise a resolução de cada um dos limites a seguir, caso esteja certa escrever “correta” caso não, apontar o erro e corrigir.
c) lim x 2 5 x(x-2)^2=100 stackrel(1)Rightarrow que caracteriza uma indeterminação
lim x 2^+ 5 x(x-2)^2 stackrel(2)Rightarrow lim x 2^+ 5 x(x-2)^2=infty

lim x 2^- 5 x(x-2)^2 stackrel(3)Rightarrow lim x 2^- 5 x(x-2)^2=infty
Portanto, lim x 2 5 x(x-2)^2 stackrel(4)Rightarrow lim x 2 5 x(x-2)^2=infty

Passo 1

Então, você tem que calcular o limite de 5x(x-2)^2 quando x se aproxima de 2. A matéria aqui envolve limites e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento da função muda quando x se aproxima de 2, tanto pela direita ( 2^+) quanto pela esquerda ( 2^-).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão 5x(x-2)^2 substituindo x por 2. Fica:
5 times 2(2-2)^2 = 100
Aqui, temos uma divisão por zero. Mas antes de concluir que é uma indeterminação, precisamos ver o que acontece com o denominador quando x se aproxima de 2.

Passo 3

O denominador é (x-2)^2. O quadrado de qualquer número é sempre positivo, então, quando x se aproxima de 2, (x-2)^2 se aproxima de 0, mas sempre fica positivo. Portanto, 100 na verdade significa que o limite tende para positivo infinito ( infty), não uma indeterminação.

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites laterais para confirmar:
  • Quando x 2^+:
    limx 2^+ 5x(x-2)^2 = infty
  • Quando x 2^-:
    limx 2^- 5x(x-2)^2 = infty
Ambos os limites laterais tendem para infty, já que o denominador se aproxima de zero de forma positiva.

Resposta

A resolução está incorreta no Passo (1), pois 100 não caracteriza uma indeterminação, mas sim que o limite tende para infinito. Corrigindo isso, concluímos que:
lim x 2 5x(x-2)^2 = infty

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