Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
Passo 1
A função é definida por partes como
para
e
para
. O conteúdo aqui é transformada de Laplace, e a gente vai precisar usar a definição
, além dos conceitos de continuidade por partes e de ordem exponencial.
Passo 2
Primeiro, verificar a continuidade por partes:
é 0 num intervalo fechado
e é o polinômio
para
. Como polinômios são contínuos e juntamos duas partes contínuas num ponto de transição,
é contínua por partes.
Agora, verificar se é de ordem exponencial: um polinômio cresce no máximo como
, então existem constantes
e
tais que
para todo
. Logo,
é de ordem exponencial.
Agora, verificar se
Passo 3
Aplicando a definição de transformada de Laplace,
Passo 4
Para calcular essa integral, fazemos a substituição
. Então
, quando
temos
e quando
temos
. A integral vira:
Passo 5
Usando a fórmula
para
, obtemos
. Portanto,
Resposta
A função é admissível e sua transformada de Laplace é
, para
.