Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
0, & 0 <= x <= 2, (x-2)^2 & 2 <= x

Passo 1

A função é definida por partes como f(x)=0 para 0<= x<= 2 e f(x)=(x-2)^2 para x>=2. O conteúdo aqui é transformada de Laplace, e a gente vai precisar usar a definição Lf(s)=integral0^inftye^-sxf(x),dx, além dos conceitos de continuidade por partes e de ordem exponencial.

Passo 2

Primeiro, verificar a continuidade por partes: f(x) é 0 num intervalo fechado [0,2] e é o polinômio (x-2)^2 para [2,infty). Como polinômios são contínuos e juntamos duas partes contínuas num ponto de transição, f(x) é contínua por partes.
Agora, verificar se f(x) é de ordem exponencial: um polinômio cresce no máximo como x^2, então existem constantes M>0 e a>0 tais que (x-2)^2<= M e^a x para todo x>=2. Logo, f é de ordem exponencial.

Passo 3

Aplicando a definição de transformada de Laplace, Lf(s)=integral0^infty e^-sxf(x),dx = integral2^infty e^-sx(x-2)^2,dx

Passo 4

Para calcular essa integral, fazemos a substituição u=x-2. Então x=u+2, quando x=2 temos u=0 e quando xtoinfty temos utoinfty. A integral vira: integral2^infty e^-sx(x-2)^2,dx = integral0^infty e^-s(u+2)u^2,du = e^-2sintegral0^infty u^2e^-su,du

Passo 5

Usando a fórmula integral0^infty u^n e^-su,du = n!s^n+1 para n=2, obtemos integral0^infty u^2e^-su,du = 2!s^3=2s^3. Portanto, Lf(s)=e^-2scdot2s^3=2e^-2ss^3

Resposta

A função é admissível e sua transformada de Laplace é Lf(s)=2e^-2ss^3, para s>0.

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