Calcule as integrais indefinidas usando a integração por substituição.
integral 3 t cos (3 t^2) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 3tcos(3t^2),dt usando integração por substituição. Vamos identificar uma substituição adequada para simplificar o argumento do cosseno.

Passo 2

Definimos a substituição u = 3t^2. Derivando em relação a t, temos du/dt = 6t, isto é, du = 6t,dt. Essa escolha simplifica o argumento de cos e expressa t,dt em função de du.

Passo 3

Isolamos t,dt na expressão du = 6t,dt:
t,dt = du6
Multiplicando por 3, obtemos:
3t,dt = 36,du = du2
Assim podemos reescrever a integral em termos de u.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral 3tcos(3t^2),dt = integral cos(u);du2
Fatorando a constante 1/2:
= 12integral cos(u),du

Passo 5

Agora basta integrar cos(u):
integral cos(u),du = sin(u)
Logo,
12integral cos(u),du = 12sin(u) + C

Passo 6

Voltando para a variável t, substituímos u = 3t^2. A integral final fica:
12sin(3t^2) + C

Resposta

tfrac12sin(3t^2) + C

Exercícios relacionados