Em cada caso, calcule o comprimento do arco indicado.
y=raizx2-2 x^3 / 23, 0 <= x <= 1.

Passo 1

A gente tem a curva y=raizx2-2x^3/23 de x=0 até x=1. O conteúdo é comprimento de arco de função, usando a fórmula L=integrala^b raiz1+(y')^2,dx.

Passo 2

Derivando y:
y'=14x^-1/2 - x^1/2 = 1-4x4raizx

Passo 3

Calculando 1+(y')^2:
1+(y')^2 = 1+(1-4x)^216x = 16x+(1-4x)^216x = (4x+1)^216x,
logo raiz1+(y')^2 = 4x+14raizx.

Passo 4

Substituindo no integral de comprimento de arco:
L=integral0^1 4x+14raizx,dx = integral0^1 l(x^1/2 + 14x^-1/2r),dx

Passo 5

Calculando as integrais:
integral0^1 x^1/2,dx = 23, integral0^1 x^-1/2,dx = 2
Logo
L=23 + 14cdot2 = 23 + 12 = 76

Resposta

76

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