Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(a) integral sen(2 x) d x
(h) integral 1cos ^2 x raiztg x-1 d x
(b) integral 1sen^2(3 x-1) d x
(i) integral cos xraiz2 sen x+1 d x
(c) integral 12 x-5 d x
(j) integral sen(2 x)raiz1+sen^2 x d x
(d) integral tg(2 x) d x
(k) integral arcsen xraiz1-x^2 d x
(e) integral cotg(e^x) e^x d x
(l) integral arctg^2 x1+x^2 d x
(f) integral x raizx^2+1 d x
(m) integral 1x ln x d x
(g) integral xraizx+1 d x
(n) integral arccos x-xraiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de várias integrais indefinidas usando substituição, envolvendo funções trigonométricas (sen, cos, tg, cotg), radicais e funções inversas. Em cada caso vamos identificar uma substituição u=dots que transforme a integral numa forma elementar.

Passo 2

Para calcular
integral sen(2x),dx
fazemos u=2x, logo du=2,dx e dx=tfrac12,du. Assim,
integral sen(2x),dx = integral sen(u),tfrac12,du = tfrac12integral sen(u),du = -tfrac12cos(u)+C = -tfrac12cos(2x)+C

Passo 3

Para
integral 1sen^2(3x-1),dx
ponha u=3x-1, então du=3,dx e dx=tfrac13,du. Temos
integral 1sen^2(3x-1),dx = tfrac13integral 1sen^2(u),du = tfrac13integral csc^2(u),du = -tfrac13cotg(u)+C = -tfrac13cotg(3x-1)+C

Passo 4

Para
integral 12x-5,dx
fazer u=2x-5, então du=2,dx e dx=tfrac12,du. Logo
integral 12x-5,dx = tfrac12integral 1u,du = tfrac12lnlvert urvert +C = tfrac12lnlvert 2x-5rvert +C

Passo 5

Para
integral tg(2x),dx
use u=2x, du=2,dx, dx=tfrac12,du. Então
integral tg(2x),dx = tfrac12integral tg(u),du = tfrac12l(-lnlvertcos(u)rvertr)+C = -tfrac12lnlvertcos(2x)rvert +C

Passo 6

Para
integral cotgl(e^xr),e^x,dx
ponha u=e^x, daí du=e^x,dx. Fica
integral cotg(u),du = integral cos(u)sen(u),du = lnl|sen(u)r| +C = lnl|sen(e^x)r| +C

Passo 7

Para
integral xraizx^2+1,dx
use u=x^2+1, então du=2x,dx e x,dx=tfrac12,du. Assim
integral xraizx^2+1,dx = tfrac12integral u^1/2,du = tfrac12cdot tfrac23u^3/2+C = tfrac13(x^2+1)^3/2+C

Passo 8

Para
integral xraizx+1,dx
ponha u=x+1, daí x=u-1 e dx=du. A integral vira
integral u-1raizu,du = integrall(u^1/2-u^-1/2r),du = tfrac23u^3/2-2u^1/2+C = tfrac23(x+1)^3/2-2(x+1)^1/2+C

Passo 9

Para
integral 1cos^2 xraiztgx-1,dx
escreva 1cos^2 x=sec^2 x e faça u=tgx-1. Então du=sec^2 x,dx e
integral sec^2 xraizu,dx = integral u^-1/2,du = 2u^1/2+C = 2raiztgx-1+C

Passo 10

Para
integral cos xraiz2senx+1,dx
use u=2senx+1, então du=2cos x,dx e cos x,dx=tfrac12,du. Fica
integral u^-1/2tfrac12,du = u^1/2+C = raiz2senx+1+C

Passo 11

Para
integral sen(2x)raiz1+sen^2x,dx
use sen(2x)=2senxcos x e ponha u=senx, daí du=cos x,dx. Então
integral 2u,duraiz1+u^2 = 2integral u(1+u^2)^-1/2,du
Com v=1+u^2, dv=2u,du, dá
integral v^-1/2,dv = 2v^1/2+C = 2raiz1+sen^2x+C

Passo 12

Para
integral arcsenxraiz1-x^2,dx
ponha u=arcsenx, daí du=tfracdxraiz1-x^2. Então
integral u,du = tfrac12u^2 + C = tfrac12l(arcsenxr)^2 + C

Passo 13

Para
integral l(arctgxr)^21+x^2,dx
use u=arctgx, então du=tfracdx1+x^2. Logo
integral u^2,du = tfrac13u^3 + C = tfrac13l(arctgxr)^3 + C

Passo 14

Para
integral 1xln x,dx
ponha u=ln x, então du=tfracdxx. Temos
integral 1xln x,dx = integral duu = lnlvert urvert + C = lnl|ln xr| + C

Passo 15

Para
integral arccosx - xraiz1-x^2,dx
separe em
integral arccosxraiz1-x^2,dx ;-; integral xraiz1-x^2,dx
  1. Para a primeira parte, use u=arccosx, daí du=-tfracdxraiz1-x^2, logo
integral arccosxraiz1-x^2,dx = -integral u,du = -tfrac12u^2 + C = -tfrac12l(arccosxr)^2 + C
  1. Para a segunda, ponha v=1-x^2, dv=-2x,dx, então
integral xraiz1-x^2,dx = -tfrac12integral v^-1/2,dv = -raizv+C = -raiz1-x^2+C
Somando os resultados dá
-tfrac12l(arccosxr)^2 ;+;raiz1-x^2 ;+;C

Resposta

(a) -tfrac12cos(2x)+C
(b) -tfrac13cotg(3x-1)+C
(c) tfrac12lnlvert 2x-5rvert +C
(d) -tfrac12lnlvertcos(2x)rvert +C
(e) lnl|sen(e^x)r| +C
(f) tfrac13(x^2+1)^3/2+C
(g) tfrac23(x+1)^3/2-2(x+1)^1/2+C
(h) 2raiztgx-1+C
(i) raiz2senx+1+C
(j) 2raiz1+sen^2x+C
(k) tfrac12l(arcsenxr)^2 +C
(l) tfrac13l(arctgxr)^3 +C
(m) lnl|ln xr| +C
(n) -tfrac12l(arccosxr)^2+raiz1-x^2+C

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