Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(a)
(h)
(b)
(i)
(c)
(j)
(d)
(k)
(e)
(l)
(f)
(m)
(g)
(n)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de várias integrais indefinidas usando substituição, envolvendo funções trigonométricas (sen, cos, tg, cotg), radicais e funções inversas. Em cada caso vamos identificar uma substituição que transforme a integral numa forma elementar.
Passo 2
Para calcular
fazemos , logo e . Assim,
Passo 3
Para
ponha , então e . Temos
Passo 4
Para
fazer , então e . Logo
Passo 5
Para
use , , . Então
Passo 6
Para
ponha , daí . Fica
Passo 7
Para
integral xraizx^2+1,dx
use u=x^2+1, então du=2x,dx e x,dx=tfrac12,du. Assim
integral xraizx^2+1,dx = tfrac12integral u^1/2,du = tfrac12cdot tfrac23u^3/2+C = tfrac13(x^2+1)^3/2+C
Passo 8
Para
integral xraizx+1,dx
ponha u=x+1, daí x=u-1 e dx=du. A integral vira
integral u-1raizu,du = integrall(u^1/2-u^-1/2r),du = tfrac23u^3/2-2u^1/2+C = tfrac23(x+1)^3/2-2(x+1)^1/2+C
Passo 9
Para
integral 1cos^2 xraiztgx-1,dx
escreva 1cos^2 x=sec^2 x e faça u=tgx-1. Então du=sec^2 x,dx e
integral sec^2 xraizu,dx = integral u^-1/2,du = 2u^1/2+C = 2raiztgx-1+C
Passo 10
Para
integral cos xraiz2senx+1,dx
use u=2senx+1, então du=2cos x,dx e cos x,dx=tfrac12,du. Fica
integral u^-1/2tfrac12,du = u^1/2+C = raiz2senx+1+C
Passo 11
Para
integral sen(2x)raiz1+sen^2x,dx
use sen(2x)=2senxcos x e ponha u=senx, daí du=cos x,dx. Então
integral 2u,duraiz1+u^2 = 2integral u(1+u^2)^-1/2,du
Com v=1+u^2, dv=2u,du, dá
integral v^-1/2,dv = 2v^1/2+C = 2raiz1+sen^2x+C
Passo 12
Para
integral arcsenxraiz1-x^2,dx
ponha u=arcsenx, daí du=tfracdxraiz1-x^2. Então
integral u,du = tfrac12u^2 + C = tfrac12l(arcsenxr)^2 + C
Passo 13
Para
integral l(arctgxr)^21+x^2,dx
use u=arctgx, então du=tfracdx1+x^2. Logo
integral u^2,du = tfrac13u^3 + C = tfrac13l(arctgxr)^3 + C
Passo 14
Para
integral 1xln x,dx
ponha u=ln x, então du=tfracdxx. Temos
integral 1xln x,dx = integral duu = lnlvert urvert + C = lnl|ln xr| + C
Passo 15
Para
integral arccosx - xraiz1-x^2,dx
separe em
integral arccosxraiz1-x^2,dx ;-; integral xraiz1-x^2,dx
Para a primeira parte, use u=arccosx, daí du=-tfracdxraiz1-x^2, logo
integral arccosxraiz1-x^2,dx = -integral u,du = -tfrac12u^2 + C = -tfrac12l(arccosxr)^2 + C
Para a segunda, ponha v=1-x^2, dv=-2x,dx, então
integral xraiz1-x^2,dx = -tfrac12integral v^-1/2,dv = -raizv+C = -raiz1-x^2+C