Determine todos os pontos onde cada função vetorial é diferenciável e calcule a derivada da função.
v(t)=t sen(raizt) i+raizt^2+1 j

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
vec v(t)=t,senl(raiztr),vec i+raizt^2+1,vec j
e pede (a) todos os pontos onde vec v é diferenciável e (b) a derivada vec v'(t). Vamos usar técnicas de análise de domínio, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Determinar o domínio de definição de vec v(t):
  1. Em t,sen(raizt) aparece raizt, exigindo t>=0.
  2. Em raizt^2+1 não há restrição (está sempre definido).
    Logo o domínio de vec v é
D = [0,infty)

Passo 3

Verificar diferenciabilidade em D:
  • Para t>0, cada componente é combinação de funções elementares (polinômios, raizcdot, sen, soma, produto), todas diferenciáveis em (0,infty).
  • Em t=0, a componente t,sen(raizt) se comporta como tcdot O(raizt)=O(t^3/2), cujo quociente pelo incremento tende a zero, garantindo derivada no ponto. A outra componente raizt^2+1 é claramente diferenciável em 0.
    Portanto, vec v é diferenciável em todo D=[0,infty).

Passo 4

Calcular a derivada da componente na direção vec i:
f(t)=t,senl(raiztr)
Usando regra do produto e cadeia:
f'(t) =senl(raiztr) + tcdotl[cosl(raiztr)cdottfrac12raiztr] =senl(raiztr) +raizt2,cosl(raiztr)

Passo 5

Calcular a derivada da componente na direção vec j:
g(t)=raizt^2+1=(t^2+1)^1/2
Pela regra da cadeia:
g'(t) =tfrac12(t^2+1)^-1/2cdot2t =traizt^2+1

Passo 6

Juntando as derivadas das componentes, obtemos a derivada vetorial
vec v'(t) =l[sen(raizt)+tfracraizt2cos(raizt)r]vec i +traizt^2+1;vec j,
válida para todo t>=0.

Resposta

A função vec v(t) é diferenciável em todo o intervalo [0,infty) e
vec v'(t) =l[sen(raizt)+tfracraizt2cos(raizt)r]vec i +traizt^2+1;vec j

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