Determine todos os pontos onde cada função vetorial é diferenciável e calcule a derivada da função.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede (a) todos os pontos onde
é diferenciável e (b) a derivada
. Vamos usar técnicas de análise de domínio, regra do produto e regra da cadeia.
Passo 2
Determinar o domínio de definição de
:
- Em
aparece , exigindo . - Em
não há restrição (está sempre definido).
Logo o domínio deé
Passo 3
Verificar diferenciabilidade em
:
- Para
, cada componente é combinação de funções elementares (polinômios, , , soma, produto), todas diferenciáveis em . - Em
, a componente se comporta como , cujo quociente pelo incremento tende a zero, garantindo derivada no ponto. A outra componente é claramente diferenciável em .
Portanto,é diferenciável em todo .
Passo 4
Calcular a derivada da componente na direção
:
Usando regra do produto e cadeia:
Passo 5
Calcular a derivada da componente na direção
:
Pela regra da cadeia:
Passo 6
Juntando as derivadas das componentes, obtemos a derivada vetorial
válida para todo
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o intervalo
e