Usando a Regra do Quociente, calcule a derivada das funções:
45. f(x)=cos xx^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cos xx^3
usando a regra do quociente, cujo enunciado é: se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Aqui temos u(x)=cos x e v(x)=x^3.

Passo 2

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=ddx[cos x]=-sin x,
v'(x)=ddx[x^3]=3x^2

Passo 3

Substituindo na fórmula da regra do quociente,
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =(-sin x),x^3-(cos x),3x^2(x^3)^2

Passo 4

No numerador podemos fatorar x^2:
-sin x;x^3-3x^2cos x =-x^2l(xsin x+3cos xr),
e o denominador é x^6. Logo
f'(x) =-x^2l(xsin x+3cos xr)x^6 =-xsin x+3cos xx^4

Resposta

f'(x)=-xsin x+3cos xx^4

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