Exercício 10 Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:
\int_{0}^{x} e^{2-5 t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a função integral
F(x)=\int_{0}^{x}e^{2-5t}\,dt
e indicar seu domínio. Esse exercício envolve o Teorema Fundamental do Cálculo e o conhecimento da antiderivada de uma função exponencial.

Passo 2

Observamos que a função integranda e^{2-5t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}. Portanto, a integral definida de 0 a x está bem definida para qualquer x\in\mathbb{R}. Logo, o domínio de F é \mathbb{R}.

Passo 3

Para encontrar a antiderivada de e^{2-5t}, note que
e^{2-5t} = e^{2}\,e^{-5t}.
Extraindo o fator constante e^{2}, temos
\int e^{2-5t}\,dt = e^{2}\int e^{-5t}\,dt = e^{2}\Bigl(-\tfrac{1}{5}e^{-5t}\Bigr) + C = -\tfrac{e^{2}}{5}e^{-5t} + C.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a antiderivada entre t=0 e t=x:
F(x) = \int_{0}^{x}e^{2-5t}\,dt = \Bigl[-\tfrac{e^{2}}{5}e^{-5t}\Bigr]_{0}^{x} = -\tfrac{e^{2}}{5}e^{-5x} -\Bigl(-\tfrac{e^{2}}{5}e^{0}\Bigr) = \tfrac{e^{2}}{5}\bigl(1 - e^{-5x}\bigr).

Resposta

F(x)=\frac{e^{2}}{5}\bigl(1 - e^{-5x}\bigr).
O domínio de F é \mathbb{R}.

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