Calcule as integrais:
\int \frac{\cos 2 x d x}{(2+3 \operatorname{sen} 2 x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos 2x\,dx}{\bigl(2+3\sin 2x\bigr)^{2}}.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, explorando que a derivada de \sin2x envolve \cos2x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + 3\sin2x.
Então
du = 3\cdot (\cos2x\cdot 2)\,dx = 6\cos2x\,dx
e, portanto,
\cos2x\,dx = \frac{du}{6}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{\cos2x\,dx}{(2+3\sin2x)^{2}} = \int \frac{\frac{du}{6}}{u^{2}} = \frac{1}{6}\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Integramos u^{-2}:
\int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C.
Logo
\frac{1}{6}\int u^{-2}\,du = -\frac{1}{6}\,u^{-1} + C = -\frac{1}{6u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, como u = 2 + 3\sin2x, conclui-se que
\int \frac{\cos2x\,dx}{\bigl(2+3\sin2x\bigr)^{2}} = -\frac{1}{6\bigl(2+3\sin2x\bigr)} + C.

Resposta

-\frac{1}{6\bigl(2+3\sin2x\bigr)} + C

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