Calcule as integrais:
\int\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x \sqrt{x}}+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x\sqrt{x}}+2\Bigr)\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a linearidade da integral e a regra do poder:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).

Passo 2

Reescrevemos cada termo em potências de x:
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2},\qquad \frac{4}{x\sqrt{x}} = 4\,x^{-3/2},\qquad 2 = 2\,x^{0}.
Então a integral vira
\int\bigl(x^{-2} + 4\,x^{-3/2} + 2\bigr)\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra do poder termo a termo:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1},
\int 4\,x^{-3/2}\,dx = 4 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -8\,x^{-1/2},
\int 2\,dx = 2x.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
-x^{-1} - 8\,x^{-1/2} + 2x + C,
que em forma de frações é
-\frac{1}{x} \;-\;\frac{8}{\sqrt{x}}\;+\;2x\;+\;C.

Resposta

-\frac{1}{x} \;-\;\frac{8}{\sqrt{x}}\;+\;2x\;+\;C.

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