Calcule as integrais:
\int\left(x^{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int\bigl(x^{2} + x^{-\tfrac12}\bigr)^{2}\,dx.
Vamos usar manipulação algébrica para expandir o quadrado e, em seguida, aplicar a regra de potência \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C (para n\neq -1) a cada termo.

Passo 2

Expandimos o integrando:
\bigl(x^{2} + x^{-\tfrac12}\bigr)^{2} = (x^{2})^{2} + 2\,x^{2}\cdot x^{-\tfrac12} + \bigl(x^{-\tfrac12}\bigr)^{2} = x^{4} + 2\,x^{2-\tfrac12} + x^{-1} = x^{4} + 2\,x^{\tfrac32} + x^{-1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}, \quad \int 2\,x^{\tfrac32}\,dx = 2\cdot\frac{x^{\tfrac52}}{\tfrac52} = \frac{4}{5}\,x^{\tfrac52}, \quad \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Resposta

\int\bigl(x^{2} + x^{-\tfrac12}\bigr)^{2}\,dx = \frac{x^{5}}{5} + \frac{4}{5}\,x^{\tfrac52} + \ln\lvert x\rvert + C.

Exercícios relacionados