Calcule as integrais
\int \frac{d x}{x^{2}+6 x+12}+\int \frac{d}{x^{3}-5 x+25}

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais indefinidas. Vou listar claramente o que é pedido e o que temos:
  • Integral (I1): \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+6x+12}.
  • Integral (I2): \displaystyle \int \frac{dx}{x^{3}-5x+25}.
Informações relevantes dadas:
  • São integrais indefinidas de funções racionais.
  • A primeira tem denominador quadrático que pode ser completado ao quadrado.
  • A segunda tem denominador cúbico sem termo em x^{2}; essa cúbica tem exatamente uma raiz real (o discriminante será positivo), logo o polinômio pode ser fatorado como (x-r)(x^{2}+r x + s) com r sendo a raiz real. Vou usar essa fatoração e decomposição em frações parciais para integrar.

Passo 2

Resolver a integral \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+6x+12} passo a passo.
  1. Completar o quadrado no denominador.
x^{2}+6x+12=(x+3)^{2}+12-9=(x+3)^{2}+3.
  1. Fazer a substituição direta u=x+3, então du=dx. A integral fica
\int \frac{dx}{x^{2}+6x+12}=\int \frac{du}{u^{2}+3}.
  1. Usar a fórmula básica
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\biggl(\frac{u}{a}\biggr)+C,
com a=\sqrt{3}. Assim
\int \frac{du}{u^{2}+3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\biggl(\frac{u}{\sqrt{3}}\biggr)+C =\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\biggl(\frac{x+3}{\sqrt{3}}\biggr)+C.
Portanto a primeira integral está resolvida.

Passo 3

Planejamento e ideia para a segunda integral \displaystyle \int \frac{dx}{x^{3}-5x+25}.
  • Como a cúbica D(x)=x^{3}-5x+25 não tem termo em x^{2}, ela pode ter uma raiz real r. Pelo Teorema do Resto, D(x)=(x-r)(x^{2}+r x + s) para algum s. Expandindo e comparando com x^{3}-5x+25 obtemos
    s=r^{2}-5,
    e a constante do produto implica -r s=25, que é equivalente à própria equação r^{3}-5r+25=0. Assim r é a raiz real da cúbica e s=r^{2}-5.
  • Faremos decomposição em frações parciais da forma
    \frac{1}{x^{3}-5x+25}=\frac{A}{x-r}+\frac{Bx+C}{x^{2}+r x + s},
    e determinaremos A,B,C por igualdade de polinômios. Depois integraremos cada parcela: \int \frac{A}{x-r}dx é logarítmica; \int \frac{Bx+C}{x^{2}+r x + s}dx será tratada escrevendo o numerador em função da derivada do denominador mais uma constante, levando a logaritmo e arctan (após completar o quadrado).

Passo 4

Determinar A,B,C da decomposição.
Multiplicando a identidade por x^{3}-5x+25=(x-r)(x^{2}+r x + s) obtemos
1=A(x^{2}+r x + s)+(Bx+C)(x-r).
Expandindo:
1=A x^{2}+A r x + A s + B x^{2}-B r x + C x - C r.
Agrupando termos por potências de x e igualando coeficientes (o membro esquerdo é o polinômio constante 1):
  • Coeficiente de x^{2}: A+B=0 \Rightarrow B=-A.
  • Coeficiente de x: A r - B r + C=0. Substituindo B=-A A r + A r + C=0 \Rightarrow C=-2Ar.
  • Termo constante: A s - C r=1. Substituindo C=-2Ar A s -(-2Ar)r = A(s+2r^{2})=1.
Portanto
A=\frac{1}{s+2r^{2}}.
Lembrando s=r^{2}-5, calcula-se
s+2r^{2}=3r^{2}-5,
logo
A=\frac{1}{3r^{2}-5},\qquad B=-\frac{1}{3r^{2}-5},\qquad C=-\frac{2r}{3r^{2}-5}.

Passo 5

Integrar cada parcela com os coeficientes obtidos.
Escrevemos
\frac{1}{x^{3}-5x+25}=\frac{A}{x-r}+\frac{Bx+C}{x^{2}+r x + s}.
Assim
\int \frac{dx}{x^{3}-5x+25}=A\int\frac{dx}{x-r}+\int\frac{Bx+C}{x^{2}+r x + s}\,dx.
  1. A primeira integral é imediata:
A\int\frac{dx}{x-r}=A\ln|x-r|.
  1. Para a segunda integral, note que a derivada do denominador Q(x)=x^{2}+r x + s é Q'(x)=2x+r. Vamos escrever Bx+C como uma combinação de Q'(x) mais uma constante:
Bx+C=\alpha(2x+r)+\beta.
Comparando coeficientes, \alpha=\dfrac{B}{2} e \beta=C-\alpha r. Substituindo B e C calculados:
\alpha=\frac{B}{2}=-\frac{1}{2(3r^{2}-5)},\qquad \beta=C-\alpha r=-\frac{2r}{3r^{2}-5}-\Bigl(-\frac{1}{2(3r^{2}-5)}\Bigr)r=-\frac{3r}{2(3r^{2}-5)}.
Então
\int\frac{Bx+C}{Q(x)}dx =\alpha\int\frac{Q'(x)}{Q(x)}dx+\beta\int\frac{dx}{Q(x)} =\alpha\ln Q(x)+\beta\int\frac{dx}{Q(x)}.
  1. Para \int\frac{dx}{Q(x)} completamos o quadrado:
Q(x)=x^{2}+r x + s=\Bigl(x+\frac{r}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(s-\frac{r^{2}}{4}\Bigr).
Calculemos a quantidade que aparece no segundo termo:
s-\frac{r^{2}}{4}=\frac{4s-r^{2}}{4}=\frac{4(r^{2}-5)-r^{2}}{4}=\frac{3r^{2}-20}{4}.
Como a cúbica tem discriminante positivo, para nossa raiz real r esse número é positivo; escrevemos então
Q(x)=\Bigl(x+\frac{r}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{\sqrt{\,3r^{2}-20\,}}{2}\Bigr)^{2}.
Usando a fórmula
\int\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\biggl(\frac{u}{a}\biggr)+C,
com u=x+\dfrac{r}{2} e a=\dfrac{\sqrt{3r^{2}-20}}{2}, obtemos
\int\frac{dx}{Q(x)}=\frac{2}{\sqrt{3r^{2}-20}}\arctan\!\biggl(\frac{2x+r}{\sqrt{3r^{2}-20}}\biggr).
  1. Reunindo tudo:
\int\frac{Bx+C}{Q(x)}dx =\alpha\ln\bigl(x^{2}+r x + s\bigr) +\beta\cdot\frac{2}{\sqrt{3r^{2}-20}}\arctan\!\biggl(\frac{2x+r}{\sqrt{3r^{2}-20}}\biggr).
Substituindo \alpha e \beta:
\alpha\ln Q(x)=-\frac{1}{2(3r^{2}-5)}\ln\bigl(x^{2}+r x + r^{2}-5\bigr),
\beta\cdot\frac{2}{\sqrt{3r^{2}-20}} =-\frac{3r}{2(3r^{2}-5)}\cdot\frac{2}{\sqrt{3r^{2}-20}} =-\frac{3r}{(3r^{2}-5)\sqrt{3r^{2}-20}}.
Portanto a integral total fica
\int \frac{dx}{x^{3}-5x+25} =\frac{1}{3r^{2}-5}\ln|x-r| -\frac{1}{2(3r^{2}-5)}\ln\bigl(x^{2}+r x + r^{2}-5\bigr) -\frac{3r}{(3r^{2}-5)\sqrt{3r^{2}-20}}\, \arctan\!\biggl(\frac{2x+r}{\sqrt{3r^{2}-20}}\biggr) +C.

Passo 6

Especificar a raiz r explicitamente (fórmula de Cardano). A raiz real r da equação
r^{3}-5r+25=0
pode ser escrita em termos de radicais pela fórmula de Cardano:
r=\sqrt[3]{-\frac{25}{2}+\sqrt{\frac{16375}{108}}} +\sqrt[3]{-\frac{25}{2}-\sqrt{\frac{16375}{108}}}.
Com esse r tem-se s=r^{2}-5 e as quantidades 3r^{2}-5 e 3r^{2}-20 que aparecem nas fórmulas acima.

Passo 7

Resumo final — juntar as duas integrais e apresentar as expressões finais (cada uma com sua constante de integração). Vou deixar a resposta final em duas linhas separadas para clareza: uma para a primeira integral e outra para a segunda (cada linha com sua constante).

Resposta

\displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+6x+12}=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\biggl(\frac{x+3}{\sqrt{3}}\biggr)+C_{1}
\displaystyle \int \frac{dx}{x^{3}-5x+25}=\frac{1}{3r^{2}-5}\ln|x-r| -\frac{1}{2(3r^{2}-5)}\ln\bigl(x^{2}+r x + r^{2}-5\bigr)
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -\frac{3r}{(3r^{2}-5)\sqrt{3r^{2}-20}}\, \arctan\!\biggl(\frac{2x+r}{\sqrt{3r^{2}-20}}\biggr)+C_{2},
onde
\displaystyle r=\sqrt[3]{-\frac{25}{2}+\sqrt{\frac{16375}{108}}} +\sqrt[3]{-\frac{25}{2}-\sqrt{\frac{16375}{108}}} é a raiz real da equação \displaystyle r^{3}-5r+25=0.

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