Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais indefinidas. Vou listar claramente o que é pedido e o que temos:
- Integral (I1):
. - Integral (I2):
.
Informações relevantes dadas:
- São integrais indefinidas de funções racionais.
- A primeira tem denominador quadrático que pode ser completado ao quadrado.
- A segunda tem denominador cúbico sem termo em
; essa cúbica tem exatamente uma raiz real (o discriminante será positivo), logo o polinômio pode ser fatorado como com sendo a raiz real. Vou usar essa fatoração e decomposição em frações parciais para integrar.
Passo 2
Resolver a integral
passo a passo.
- Completar o quadrado no denominador.
- Fazer a substituição direta
, então . A integral fica
- Usar a fórmula básica
com
. Assim
Portanto a primeira integral está resolvida.
Passo 3
Planejamento e ideia para a segunda integral
.
-
Como a cúbica
não tem termo em , ela pode ter uma raiz real . Pelo Teorema do Resto, para algum . Expandindo e comparando com obtemos e a constante do produto implica, que é equivalente à própria equação . Assim é a raiz real da cúbica e . -
Faremos decomposição em frações parciais da formae determinaremos
por igualdade de polinômios. Depois integraremos cada parcela: é logarítmica; será tratada escrevendo o numerador em função da derivada do denominador mais uma constante, levando a logaritmo e arctan (após completar o quadrado).
Passo 4
Determinar
da decomposição.
Multiplicando a identidade por
obtemos
Expandindo:
Agrupando termos por potências de
e igualando coeficientes (o membro esquerdo é o polinômio constante
):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . Substituindo dá . - Termo constante:
. Substituindo dá
Portanto
Lembrando
, calcula-se
logo
Passo 5
Integrar cada parcela com os coeficientes obtidos.
Escrevemos
Assim
- A primeira integral é imediata:
- Para a segunda integral, note que a derivada do denominador
é . Vamos escrever como uma combinação de mais uma constante:
Comparando coeficientes,
e
. Substituindo
e
calculados:
Então
- Para
completamos o quadrado:
Calculemos a quantidade que aparece no segundo termo:
Como a cúbica tem discriminante positivo, para nossa raiz real
esse número é positivo; escrevemos então
Usando a fórmula
com
e
, obtemos
- Reunindo tudo:
Substituindo
e
:
Portanto a integral total fica
Passo 6
Especificar a raiz
explicitamente (fórmula de Cardano). A raiz real
da equação
pode ser escrita em termos de radicais pela fórmula de Cardano:
Com esse
tem-se
e as quantidades
e
que aparecem nas fórmulas acima.
Passo 7
Resumo final — juntar as duas integrais e apresentar as expressões finais (cada uma com sua constante de integração). Vou deixar a resposta final em duas linhas separadas para clareza: uma para a primeira integral e outra para a segunda (cada linha com sua constante).
Resposta
onde
é a raiz real da equação
.