Calcule as integrais
(Valor 5 pontos) \int \cos ^{2} x \operatorname{sen}^{3} x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \cos^{2} x \,\operatorname{sen}^{3} x\, dx.
Informações dadas / observações úteis extraídas do enunciado:
  • A função integranda é \cos^{2}x\cdot \operatorname{sen}^{3}x.
  • A potência de \operatorname{sen}x é ímpar ( 3) e a potência de \cos x é par ( 2).
  • Não há outras restrições fornecidas (assume-se integração indefinida, portanto haverá uma constante de integração C).

Passo 2

Primeira ideia prática (explicação didática): quando o integrando tem uma potência ímpar de \operatorname{sen}x (ou, simetricamente, uma potência ímpar de \cos x), uma técnica muito útil é separar um fator \operatorname{sen}x (ou \cos x) e usar a identidade pitagórica
\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1,
para escrever os demais fatores em termos da outra função trigonométrica. Aqui vamos separar um \operatorname{sen}x porque ele permite formar d(\cos x) quando fizermos a substituição adequada.

Passo 3

Reescrever a integranda separando um fator \operatorname{sen}x:
\cos^{2}x\,\operatorname{sen}^{3}x = \cos^{2}x\,\operatorname{sen}^{2}x\;\operatorname{sen}x.
Agora aplicar a identidade \operatorname{sen}^{2}x=1-\cos^{2}x (toda variável e expressão estão entre delimitadores TeX):
\cos^{2}x\,\operatorname{sen}^{2}x\;\operatorname{sen}x = \cos^{2}x\,(1-\cos^{2}x)\;\operatorname{sen}x.

Passo 4

Escolha da substituição e explicação: como apareceu \operatorname{sen}x\,dx isolado, é natural fazer a substituição
u=\cos x.
Explico por quê: \dfrac{d}{dx}(\cos x)=-\operatorname{sen}x, logo
du=-\operatorname{sen}x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}x\,dx=-du.
Substituindo na integral obtemos uma integral em u.

Passo 5

Fazer a substituição na integral:
\int \cos^{2}x\,(1-\cos^{2}x)\,\operatorname{sen}x\,dx = \int u^{2}(1-u^{2})(-du) = -\int \bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du.
Agora calculamos a primitiva polinomial em u.

Passo 6

Integrar termo a termo em u:
-\int \bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du = -\left(\int u^{2}\,du - \int u^{4}\,du\right) = -\left(\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}\right)+C.
Simplificando:
-\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5}+C.
Voltar à variável original usando u=\cos x.

Passo 7

Substituindo u=\cos x de volta, a primitiva encontrada é
-\frac{\cos^{3}x}{3}+\frac{\cos^{5}x}{5}+C.
Para deixar mais comum, pode-se escrever na ordem crescente de potências:
\frac{\cos^{5}x}{5}-\frac{\cos^{3}x}{3}+C.

Passo 8

Verificação rápida (importante na prova): derivar a resposta para conferir que recuperamos o integrando.
Calcular
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\cos^{5}x}{5}-\frac{\cos^{3}x}{3}\right) = -\cos^{4}x\,\operatorname{sen}x + \cos^{2}x\,\operatorname{sen}x = \bigl(-\cos^{4}x+\cos^{2}x\bigr)\operatorname{sen}x = \cos^{2}x(1-\cos^{2}x)\operatorname{sen}x = \cos^{2}x\,\operatorname{sen}^{3}x,
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{\cos^{5}x}{5}-\dfrac{\cos^{3}x}{3}+C

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