Calcule as integrais
(Valor 5 pontos)
(Valor 5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas / observações úteis extraídas do enunciado:
- A função integranda é
. - A potência de
é ímpar ( ) e a potência de é par ( ). - Não há outras restrições fornecidas (assume-se integração indefinida, portanto haverá uma constante de integração
).
Passo 2
Primeira ideia prática (explicação didática): quando o integrando tem uma potência ímpar de
(ou, simetricamente, uma potência ímpar de
), uma técnica muito útil é separar um fator
(ou
) e usar a identidade pitagórica
para escrever os demais fatores em termos da outra função trigonométrica. Aqui vamos separar um
porque ele permite formar
quando fizermos a substituição adequada.
Passo 3
Reescrever a integranda separando um fator
:
Agora aplicar a identidade
(toda variável e expressão estão entre delimitadores TeX):
Passo 4
Escolha da substituição e explicação: como apareceu
isolado, é natural fazer a substituição
Explico por quê:
, logo
Substituindo na integral obtemos uma integral em
.
Passo 5
Fazer a substituição na integral:
Agora calculamos a primitiva polinomial em
.
Passo 6
Integrar termo a termo em
:
Simplificando:
Voltar à variável original usando
.
Passo 7
Substituindo
de volta, a primitiva encontrada é
Para deixar mais comum, pode-se escrever na ordem crescente de potências:
Passo 8
Verificação rápida (importante na prova): derivar a resposta para conferir que recuperamos o integrando.
Calcular
Calcular
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.