Questão-07. (1,0 ponto/item).
a) Represente um esboço da região R do 1^{\circ} quadrante do plano cartesiano limitada pelas curvas y=\frac{1}{x}, y=x^{2}, y=\boldsymbol{e} e x=0.
b) Determine a área da região R do item (a).

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
  • O enunciado pede duas coisas:
    (a) representar um esboço (um desenho aproximado) da região R no primeiro quadrante limitada pelas curvas y=\dfrac{1}{x}, y=x^{2}, y=\mathrm{e} e x=0;
    (b) determinar a área da região R.
  • As curvas que nos dão as fronteiras são:
    • y=\dfrac{1}{x} (hipérbole, definida para x>0 no 1.º quadrante, decrescente, \lim_{x\to0^+}1/x=+\infty);
    • y=x^{2} (parábola, passa por (0,0), crescente para x>0);
    • y=\mathrm{e} (reta horizontal constante em y=\mathrm{e});
    • x=0 (eixo y, limite à esquerda).
  • Pontos de interseção importantes (a serem calculados): interseção entre y=x^{2} e y=\dfrac{1}{x}; entre cada uma dessas curvas e y=\mathrm{e}. Esses pontos vão nos ajudar a traçar o esboço e a dividir a região para o cálculo da área.
A resolução começa agora.

Passo 2

Calcular as interseções relevantes (vou resolver cada equação e explicar cada passo).
  1. Interseção entre y=x^{2} e y=\dfrac{1}{x}.
  • Igualando as duas expressões:
x^{2}=\dfrac{1}{x}.
  • Multiplicando ambos os lados por x (válido para x>0 no 1.º quadrante):
x^{3}=1.
  • Logo
x=1, \qquad y=x^{2}=1.
Portanto as curvas se cruzam em (1,1).
  1. Interseção de y=\dfrac{1}{x} com y=\mathrm{e}.
  • Igualando:
\dfrac{1}{x}=\mathrm{e}
  • Isolando x:
x=\dfrac{1}{\mathrm{e}}.
O ponto de interseção é \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},\mathrm{e}\right).
  1. Interseção de y=x^{2} com y=\mathrm{e}.
  • Igualando:
x^{2}=\mathrm{e}
  • Isolando x (no 1.º quadrante tomamos a raiz positiva):
x=\sqrt{\mathrm{e}}.
O ponto de interseção é \bigl(\sqrt{\mathrm{e}},\mathrm{e}\bigr).
Resumindo os pontos úteis (coloque-os no esboço): (0,0) (parábola), (1,1) (interseção parabola–hipérbole), \left(\tfrac{1}{\mathrm{e}},\mathrm{e}\right) (hipérbole–reta), \bigl(\sqrt{\mathrm{e}},\mathrm{e}\bigr) (parábola–reta).

Passo 3

Descrever o esboço da região R (parte (a)) e justificar a estratégia de cálculo.
  • Como esboçar:
    • Desenhe os eixos x e y (só primeiro quadrante).
    • A parábola y=x^{2}: passa por (0,0), por (1,1) e sobe mais devagar que a reta horizontal.
    • A hipérbole y=\dfrac{1}{x}: para x\to0^{+} vai a +\infty, decresce e passa por (1,1) e fica pequena para x grande.
    • A reta y=\mathrm{e} é uma linha horizontal acima de y=1 (pense \mathrm{e}\approx2{,}718).
    • Marque os pontos \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},\mathrm{e}\right) (pequeno x à altura \mathrm{e}) e \bigl(\sqrt{\mathrm{e}},\mathrm{e}\bigr) (maior x à mesma altura).
    • A região R fica entre o eixo x=0 (à esquerda) e, para cada altura y, limitada à direita pela curva que estiver mais próxima do eixo y. Observando as posições: para 0\le y\le1 a parábola dá x=\sqrt{y} menor que x=\dfrac{1}{y}; para 1\le y\le\mathrm{e} a hipérbole dá x=\dfrac{1}{y} menor que x=\sqrt{y}. Assim a borda direita muda em y=1.
  • Conclusão do esboço: desenhe o segmento horizontal em y=\mathrm{e} entre x=\dfrac{1}{\mathrm{e}} e x=\sqrt{\mathrm{e}}, desenhe a hipérbole descendo de \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},\mathrm{e}\right) até (1,1), desenhe a parábola subindo de (1,1) até \bigl(\sqrt{\mathrm{e}},\mathrm{e}\bigr), e feche a região indo pela parábola até (0,0) e pelo eixo x=0 até (0,\mathrm{e}) (o importante é marcar as fronteiras e os pontos: isso constitui um esboço correto).

Passo 4

Escolher método de cálculo da área e montar a integral. Ensino prático: por que integrar em y (fatias horizontais)?
  • Quando a região é limitada à esquerda por x=0 e à direita por curvas dadas como x=\text{função de }yçã, é muito natural usar fatias horizontais: a área de uma fatia horizontal de espessura dy é \bigl(x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}\bigr)\,dy.
  • Aqui x_{\text{esquerda}}=0. Para cada valor de y entre 0 e \mathrm{e} a coordenada x da parábola é x=\sqrt{y} (pois y=x^{2} implica x=\sqrt{y} para x\ge0) e a da hipérbole é x=\dfrac{1}{y} (pois y=\dfrac{1}{x} implica x=\dfrac{1}{y} para y>0).
  • Comparando essas duas expressões:
    • Para 0\le y\le 1: \sqrt{y}\le\dfrac{1}{y} (pois ao elevar ambos os lados a 2 ou manipular, vê-se que a igualdade ocorre em y=1 e, para y<1, \sqrt{y}<1<\dfrac{1}{y}).
    • Para 1\le y\le \mathrm{e}: \dfrac{1}{y}\le\sqrt{y}.
  • Portanto a borda direita da região é x=\sqrt{y} quando 0\le y\le1 e é x=\dfrac{1}{y} quando 1\le y\le\mathrm{e}.
  • Assim a área total é soma de duas integrais horizontais:
\text{Área}=\int_{y=0}^{1} \bigl(\sqrt{y}-0\bigr)\,dy + \int_{y=1}^{\mathrm{e}} \left(\dfrac{1}{y}-0\right)\,dy.Á

Passo 5

Calcular cada integral passo a passo (aulas rápidas sobre antiderivadas usadas).
  1. Integral de \sqrt{y} de 0 a 1.
  • Escrevendo \sqrt{y}=y^{1/2}.
  • A primitiva de y^{1/2} é \dfrac{y^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}y^{3/2}. (Regra: a antiderivada de y^{n} é \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.)
  • Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \sqrt{y}\,dy = \left.\dfrac{2}{3}y^{3/2}\right|_{0}^{1} = \dfrac{2}{3}\bigl(1^{3/2}-0^{3/2}\bigr)=\dfrac{2}{3}.
  1. Integral de \dfrac{1}{y} de 1 a \mathrm{e}.
  • A primitiva de \dfrac{1}{y} é \ln y (logaritmo natural).
  • Avaliando de 1 a \mathrm{e}:
\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{y}\,dy = \left.\ln y\right|_{1}^{\mathrm{e}} = \ln(\mathrm{e})-\ln(1)=1-0=1.

Passo 6

Somar as parcelas para obter a área total e interpretar o resultado.
  • Somando:
\text{Área}=\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3}=\dfrac{5}{3}.Á
  • Em forma decimal isso é aproximadamente \dfrac{5}{3}\approx1{,}666\ldots.
  • Resultado final: a área da região R é \dfrac{5}{3}.

Resposta

(a) Esboço: região no 1.º quadrante limitada à esquerda por x=0, acima por y=\mathrm{e}, e à direita por x=\sqrt{y} para 0\le y\le1 e por x=\dfrac{1}{y} para 1\le y\le\mathrm{e}; pontos-chave (0,0), (1,1), \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},\mathrm{e}\right), \bigl(\sqrt{\mathrm{e}},\mathrm{e}\bigr).
(b) \dfrac{5}{3}

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