Questão-07. (1,0 ponto/item).
a) Represente um esboço da região R do 1^{\circ} quadrante do plano cartesiano limitada pelas curvas y=\frac{1}{x}, y=x^{2}, y=\boldsymbol{e} e x=0.
b) Determine a área da região R do item (a).
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
O enunciado pede duas coisas:
(a) representar um esboço (um desenho aproximado) da região R no primeiro quadrante limitada pelas curvas y=\dfrac{1}{x}, y=x^{2}, y=\mathrm{e} e x=0;
(b) determinar a área da região R.
As curvas que nos dão as fronteiras são:
y=\dfrac{1}{x} (hipérbole, definida para x>0 no 1.º quadrante, decrescente, \lim_{x\to0^+}1/x=+\infty);
y=x^{2} (parábola, passa por (0,0), crescente para x>0);
y=\mathrm{e} (reta horizontal constante em y=\mathrm{e});
x=0 (eixo y, limite à esquerda).
Pontos de interseção importantes (a serem calculados): interseção entre y=x^{2} e y=\dfrac{1}{x}; entre cada uma dessas curvas e y=\mathrm{e}. Esses pontos vão nos ajudar a traçar o esboço e a dividir a região para o cálculo da área.
A resolução começa agora.
Passo 2
Calcular as interseções relevantes (vou resolver cada equação e explicar cada passo).
Interseção entre y=x^{2} e y=\dfrac{1}{x}.
Igualando as duas expressões:
x^{2}=\dfrac{1}{x}.
Multiplicando ambos os lados por x (válido para x>0 no 1.º quadrante):
x^{3}=1.
Logo
x=1, \qquad y=x^{2}=1.
Portanto as curvas se cruzam em (1,1).
Interseção de y=\dfrac{1}{x} com y=\mathrm{e}.
Igualando:
\dfrac{1}{x}=\mathrm{e}
Isolando x:
x=\dfrac{1}{\mathrm{e}}.
O ponto de interseção é \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},\mathrm{e}\right).
Interseção de y=x^{2} com y=\mathrm{e}.
Igualando:
x^{2}=\mathrm{e}
Isolando x (no 1.º quadrante tomamos a raiz positiva):
x=\sqrt{\mathrm{e}}.
O ponto de interseção é \bigl(\sqrt{\mathrm{e}},\mathrm{e}\bigr).
Resumindo os pontos úteis (coloque-os no esboço): (0,0) (parábola), (1,1) (interseção parabola–hipérbole), \left(\tfrac{1}{\mathrm{e}},\mathrm{e}\right) (hipérbole–reta), \bigl(\sqrt{\mathrm{e}},\mathrm{e}\bigr) (parábola–reta).
Passo 3
Descrever o esboço da região R (parte (a)) e justificar a estratégia de cálculo.
Como esboçar:
Desenhe os eixos x e y (só primeiro quadrante).
A parábola y=x^{2}: passa por (0,0), por (1,1) e sobe mais devagar que a reta horizontal.
A hipérbole y=\dfrac{1}{x}: para x\to0^{+} vai a +\infty, decresce e passa por (1,1) e fica pequena para x grande.
A reta y=\mathrm{e} é uma linha horizontal acima de y=1 (pense \mathrm{e}\approx2{,}718).
Marque os pontos \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},\mathrm{e}\right) (pequeno x à altura \mathrm{e}) e \bigl(\sqrt{\mathrm{e}},\mathrm{e}\bigr) (maior x à mesma altura).
A região R fica entre o eixo x=0 (à esquerda) e, para cada altura y, limitada à direita pela curva que estiver mais próxima do eixo y. Observando as posições: para 0\le y\le1 a parábola dá x=\sqrt{y} menor que x=\dfrac{1}{y}; para 1\le y\le\mathrm{e} a hipérbole dá x=\dfrac{1}{y} menor que x=\sqrt{y}. Assim a borda direita muda em y=1.
Conclusão do esboço: desenhe o segmento horizontal em y=\mathrm{e} entre x=\dfrac{1}{\mathrm{e}} e x=\sqrt{\mathrm{e}}, desenhe a hipérbole descendo de \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},\mathrm{e}\right) até (1,1), desenhe a parábola subindo de (1,1) até \bigl(\sqrt{\mathrm{e}},\mathrm{e}\bigr), e feche a região indo pela parábola até (0,0) e pelo eixo x=0 até (0,\mathrm{e}) (o importante é marcar as fronteiras e os pontos: isso constitui um esboço correto).
Passo 4
Escolher método de cálculo da área e montar a integral. Ensino prático: por que integrar em y (fatias horizontais)?
Quando a região é limitada à esquerda por x=0 e à direita por curvas dadas como x=\text{função de }y, é muito natural usar fatias horizontais: a área de uma fatia horizontal de espessura dy é \bigl(x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}\bigr)\,dy.
Aqui x_{\text{esquerda}}=0. Para cada valor de y entre 0 e \mathrm{e} a coordenada x da parábola é x=\sqrt{y} (pois y=x^{2} implica x=\sqrt{y} para x\ge0) e a da hipérbole é x=\dfrac{1}{y} (pois y=\dfrac{1}{x} implica x=\dfrac{1}{y} para y>0).
Comparando essas duas expressões:
Para 0\le y\le 1: \sqrt{y}\le\dfrac{1}{y} (pois ao elevar ambos os lados a 2 ou manipular, vê-se que a igualdade ocorre em y=1 e, para y<1, \sqrt{y}<1<\dfrac{1}{y}).
Para 1\le y\le \mathrm{e}: \dfrac{1}{y}\le\sqrt{y}.
Portanto a borda direita da região é x=\sqrt{y} quando 0\le y\le1 e é x=\dfrac{1}{y} quando 1\le y\le\mathrm{e}.
Assim a área total é soma de duas integrais horizontais:
Em forma decimal isso é aproximadamente \dfrac{5}{3}\approx1{,}666\ldots.
Resultado final: a área da região R é \dfrac{5}{3}.
Resposta
(a) Esboço: região no 1.º quadrante limitada à esquerda por x=0, acima por y=\mathrm{e}, e à direita por x=\sqrt{y} para 0\le y\le1 e por x=\dfrac{1}{y} para 1\le y\le\mathrm{e}; pontos-chave (0,0), (1,1), \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},\mathrm{e}\right), \bigl(\sqrt{\mathrm{e}},\mathrm{e}\bigr).
(b) \dfrac{5}{3}