Calcule as integrais:
\int \frac{d x}{\sqrt{x} \sqrt{1+\sqrt{x}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{x}\,\sqrt{1+\sqrt{x}}}
O conteúdo principal é técnica de substituição para simplificar raízes.

Passo 2

Fazemos a substituição u = \sqrt{x} então
x = u^2,\quad dx = 2u\,du,\quad \sqrt{x}=u.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \frac{dx}{\sqrt{x}\,\sqrt{1+\sqrt{x}}} = \int \frac{2u\,du}{u\,\sqrt{1+u}} = 2\int (1+u)^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
2\int (1+u)^{-\tfrac12}\,du = 2\cdot 2\,(1+u)^{\tfrac12} + C' = 4\sqrt{1+u} + C'.

Passo 5

Voltando para x usando u=\sqrt{x}:
4\sqrt{1+u} + C' = 4\sqrt{1+\sqrt{x}} + C,
onde C é a constante de integração geral.

Resposta

4\sqrt{1+\sqrt{x}} + C

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