Calcule as integrais:
\int \cos (\ln x) \frac{d x}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos(\ln x)\,\frac{dx}{x}.
O conteúdo é integração por substituição, pois vemos \ln x e seu diferencial natural \tfrac{dx}{x}.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \ln x,
então
dt = \frac{dx}{x}.
Com isso, a integral se transforma em
\int \cos(t)\,dt.

Passo 3

Sabemos que
\int \cos(t)\,dt = \sin(t) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável original x, como t = \ln x, obtemos
\sin(t) + C = \sin\bigl(\ln x\bigr) + C.

Resposta

\sin\bigl(\ln x\bigr) + C

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