Calcule as integrais:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Dados fornecidos: a expressão da integral com funções trigonométricas secante e tangente em potências. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é o integrando) e apresentar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o integrando escrevendo
e
em termos de
e
. Lembre que
e
. Portanto:
Ou seja, a integral fica
Passo 3
Agora escolhemos uma substituição natural: seja
Derivando ambos os lados em relação a
, obtemos
Essa escolha é conveniente porque o integrando tem um fator
e uma potência de
. Substituindo na integral:
Passo 4
Aplicamos a regra de potência para integrais. A regra diz que, para
,
Aqui temos
. Então
Passo 5
Voltando da substituição
, obtemos
Podemos também escrever como
, pois
.
Passo 6
Verificação rápida (bom para confiança na prova): derivando
usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando original (lembrando que
). Tudo bate.