Calcule as integrais:
\int \frac{\operatorname{sec} ^{3}(x)}{\tan ^{4}(x)} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\operatorname{sec}^{3}(x)}{\tan^{4}(x)}\,dx.
Dados fornecidos: a expressão da integral com funções trigonométricas secante e tangente em potências. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é o integrando) e apresentar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o integrando escrevendo \operatorname{sec} e \tan em termos de \sin e \cos. Lembre que \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} e \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}. Portanto:
\frac{\operatorname{sec}^{3}(x)}{\tan^{4}(x)} = \frac{\dfrac{1}{\cos^{3}(x)}}{\dfrac{\sin^{4}(x)}{\cos^{4}(x)}} = \frac{1}{\cos^{3}(x)}\cdot\frac{\cos^{4}(x)}{\sin^{4}(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}.
Ou seja, a integral fica
\int \frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}\,dx.

Passo 3

Agora escolhemos uma substituição natural: seja
u=\sin(x).
Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
du=\cos(x)\,dx.
Essa escolha é conveniente porque o integrando tem um fator \cos(x)\,dx e uma potência de \sin(x). Substituindo na integral:
\int \frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}\,dx = \int \frac{1}{u^{4}}\,du = \int u^{-4}\,du.

Passo 4

Aplicamos a regra de potência para integrais. A regra diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui temos n=-4. Então
\int u^{-4}\,du = \frac{u^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3}u^{-3} + C.

Passo 5

Voltando da substituição u=\sin(x), obtemos
-\frac{1}{3}u^{-3} + C = -\frac{1}{3}\sin^{-3}(x) + C = -\frac{1}{3\sin^{3}(x)} + C.
Podemos também escrever como -\dfrac{1}{3}\csc^{3}(x)+C, pois \csc(x)=1/\sin(x).

Passo 6

Verificação rápida (bom para confiança na prova): derivando -\dfrac{1}{3}\sin^{-3}(x) usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{3}\sin^{-3}(x)\right) = -\frac{1}{3}\cdot(-3)\sin^{-4}(x)\cos(x) = \frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)},
que é exatamente o integrando original (lembrando que \dfrac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}=\dfrac{\operatorname{sec}^{3}(x)}{\tan^{4}(x)}). Tudo bate.

Resposta

-\dfrac{1}{3\sin^{3}(x)}+C

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