Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Supondo que as chamadas que chegam constituam uma distribuição de Poisson, qual é a probabilidade de a central não receber nenhuma chamada em um minuto? E de receber no máximo 2 chamadas em 2 minutos?
\mathbf{x} \mathbf{P}(\mathbf{X}=\mathbf{x}) ( \lambda=5) \mathbf{P}(\mathbf{X}=\mathbf{x}) ( \lambda=10)
0 0,006738 0,000045
1 0,033690 0,000454
2 0,084224 0,002270
3 0,140374 0,007567
4 0,175467 0,018917
5 0,175467 0,037833
6 0,146223 0,063055
7 0,104445 0,090079
8 0,065278 0,112599
9 0,036266 0,125110
10 0,018133 0,125110
11 0,008242 0,113736
12 0,003434 0,094780
13 0,001321 0,072908
14 0,000472 0,052077
15 0,000157 0,034718
16 0,000049 0,021699
17 0,000014 0,012764
18 0,000004 0,007091
19 0,000001 0,003732
20 0,000000 0,001866

Passo 1

O enunciado pede duas probabilidades e nos dá uma informação principal:
  • Pergunta A: qual é a probabilidade da central não receber nenhuma chamada em um minuto?
  • Pergunta B: qual é a probabilidade da central receber, em dois minutos, no máximo 2 chamadas (ou seja, 0, 1 ou 2 chamadas)?
Informações fornecidas:
  • A média é de 5 chamadas por minuto (peguei isso do enunciado).
  • As chegadas seguem uma distribuição de Poisson (peguei isso do enunciado).
  • A tabela fornecida contém as probabilidades P(X=x) para \lambda=5 (um minuto) e \lambda=10 (dois minutos). Vou usar esses valores numéricos da tabela quando for útil.

Passo 2

O que é a distribuição de Poisson e qual é a fórmula que usamos?
A distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de eventos raros em um intervalo fixo de tempo (ou espaço), quando esses eventos ocorrem com taxa média constante e independentemente. A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},
onde:
  • \lambda é o valor esperado (média) do número de eventos no intervalo considerado;
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6);
  • e é a base dos logaritmos naturais ( e\approx 2,71828).
Explicando de forma bem simples: \lambda^{k} mede a força do evento k vezes, e^{-\lambda} é um fator de normalização que faz as probabilidades somarem 1, e dividir por k! corrige a contagem por permutações idênticas.

Passo 3

Como ajustar \lambda para diferentes intervalos de tempo?
A taxa informada é de 5 chamadas por minuto. A média \lambda para um intervalo de duração t minutos será proporcional a t. Então:
  • Para t=1 minuto temos \lambda = 5.
  • Para t=2 minutos temos \lambda = 2\cdot5 = 10.
Isso acontece porque a Poisson é um processo com taxa constante: dobrando o tempo, dobra-se a média esperada de eventos.

Passo 4

Calcular a probabilidade de não receber nenhuma chamada em um minuto ( k=0, \lambda=5).
Usando a fórmula com k=0:
P(X=0)=\frac{\lambda^{0} e^{-\lambda}}{0!}=e^{-\lambda},
porque \lambda^{0}=1 e 0!=1.
Substituindo \lambda=5:
P(X=0)=e^{-5}.
Numericamente, e^{-5}\approx 0,006737947. Na tabela fornecida o valor para x=0 com \lambda=5 é 0,006738 — vou usar o valor da tabela por ser arredondado conforme o enunciado. Então:
P(\text{nenhuma chamada em 1 minuto}) \approx 0,006738.

Passo 5

Calcular a probabilidade de receber no máximo 2 chamadas em 2 minutos ( X\le 2, \lambda=10).
Definição:
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).
Do ponto de vista algébrico, podemos somar os três termos da fórmula de Poisson ou usar a forma compacta:
P(X\le 2)=e^{-\lambda}\left(1+\lambda+\frac{\lambda^{2}}{2!}\right).
Substituindo \lambda=10:
P(X\le 2)=e^{-10}\left(1+10+\frac{10^{2}}{2}\right)=e^{-10}\cdot 61.
Numericamente, e^{-10}\approx 0,00004539993, então e^{-10}\cdot 61\approx 0,0027684.
Como o enunciado trouxe uma tabela com P(X=0), P(X=1) e P(X=2) para \lambda=10 (peguei esses valores da tabela), vamos somá-los para obter o resultado com o arredondamento da tabela:
  • P(X=0)=0,000045 (da tabela),
  • P(X=1)=0,000454 (da tabela),
  • P(X=2)=0,002270 (da tabela).
Somando: 0,000045+0,000454+0,002270=0,002769 (diferença pequena em relação ao cálculo usando e^{-10} por causa de arredondamentos). Portanto:
P(\text{no máximo 2 chamadas em 2 minutos}) \approx 0,002769.á

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo
Ambas as probabilidades são bem pequenas: é pouco provável não receber nenhuma chamada em um minuto quando a média é 5/minuto (isso já era de se esperar), e é também muito improvável ter no máximo 2 chamadas em dois minutos quando a média em 2 minutos é 10 chamadas — essa última probabilidade é pequena porque 0, 1 ou 2 estão bem abaixo da média 10.
Você mandou bem pedindo exercícios: a técnica chave aqui é lembrar da fórmula de Poisson, ajustar \lambda ao tamanho do intervalo e somar termos quando for “no máximo” (cumulativa). Se quiser, faço mais exemplos parecidos pra treinar e consolidar!

Resposta

P(\text{nenhuma chamada em 1 minuto}) = 0,006738
P(\text{no máximo 2 chamadas em 2 minutos}) = 0,002769á

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