Dois adversários A e B disputam uma série de 8 partidas de um determinado jogo. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6 e não há empate. Qual é a probabilidade de A ganhar a série?
\mathbf{x} \mathbf{P}(\mathbf{X}=\mathbf{x})
0 0,000655
1 0,007864
2 0,041300
3 0,123898
4 0,232243
5 0,278692
6 0,209019
7 0,089579
8 0,016796

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que o jogador A “ganhe a série” de 8 partidas. As informações fornecidas são:
  • A probabilidade de A ganhar uma partida é \,0,6.
  • Não há empate em uma partida.
  • Há uma tabela com a distribuição de probabilidades do número de vitórias de A em 8 partidas — eu peguei os dados dessa tabela (cada linha diz P(X=x) para x=0,1,\dots,8):
\begin{array}{c|c} x & P(X=x)\\hline 0 & 0,000655\\\\ 1 & 0,007864\\\\ 2 & 0,041300\\\\ 3 & 0,123898\\\\ 4 & 0,232243\\\\ 5 & 0,278692\\\\ 6 & 0,209019\\\\ 7 & 0,089579\\\\ 8 & 0,016796 \end{array}
Nada mais é pedido além da probabilidade de A vencer a série.

Passo 2

Interpretar corretamente “ganhar a série”: em 8 partidas, para A ganhar a série ele precisa ter MAIS vitórias que B. Como não há empates nas partidas, o número total de vitórias de A é um inteiro X entre 0 e 8. Para que A tenha mais vitórias que B é necessário que A vença pelo menos 5 partidas (porque 4 a 4 seria empate na série). Logo o evento “A ganha a série” é o evento \{X\ge 5\}.

Passo 3

Estratégia de cálculo: podemos usar a própria tabela e somar as probabilidades de X=5,6,7,8, isto é
P(X\ge 5)=P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8).
Uma observação didática: se precisássemos calcular cada P(X=k) sem a tabela, usamos a fórmula da distribuição binomial (porque cada partida é uma tentativa independente com probabilidade p=0,6 de sucesso):
P(X=k)=\binom{8}{k}\,0,6^{\,k}\,0,4^{\,8-k},
onde \binom{8}{k} é o número de maneiras de escolher quais k partidas A ganha entre as 8. Vou mostrar um exemplo de cálculo com essa fórmula para k=5, só para você ver o procedimento na prova:
\binom{8}{5}=56,\qquad 0,6^{5}=0,07776,\qquad 0,4^{3}=0,064.
Multiplicando:
P(X=5)=56\cdot 0,07776\cdot 0,064\approx 0,27868784\approx 0,278692,
que confere com o valor dado na tabela (diferenças residuais vêm de arredondamento).

Passo 4

Agora somo diretamente os valores da tabela para x=5,6,7,8. Substituindo:
\begin{aligned} P(X\ge 5)&=P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)\\[4pt] &=0,278692+0,209019+0,089579+0,016796. \end{aligned}]

Passo 5

Faço a adição passo a passo (para você poder conferir na prova sem perder o fio):
\begin{aligned} 0,278692+0,209019&=0,487711,\\[4pt] 0,487711+0,089579&=0,577290,\\[4pt] 0,577290+0,016796&=0,594086. \end{aligned}
Portanto, a probabilidade de A ganhar a série é aproximadamente \,0,594086. (Pequenas variações podem aparecer por arredondamento dos valores da tabela.)]

Resposta

0,594086

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