Calcule as integrais:
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,\mathrm{d}x.
Para resolver, vamos usar a substituição hiperbólica \;x = \operatorname{sinh} t, já que daí \sqrt{1+x^{2}}=\operatorname{cosh} t e a integral vira algo trivial.

Passo 2

Fazendo a troca de variável
x = \operatorname{sinh} t \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}x = \operatorname{cosh} t\,\mathrm{d}t, \quad \sqrt{1+x^{2}} = \sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t} = \operatorname{cosh} t.
Substituindo em \int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,\mathrm{d}x, temos
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{\operatorname{cosh} t}\;\bigl(\operatorname{cosh} t\,\mathrm{d}t\bigr) = \int 1\,\mathrm{d}t.

Passo 3

A integral ficou simplesmente
\int 1\,\mathrm{d}t = t + C.

Passo 4

Voltando à variável x, lembramos que
t = \operatorname{arcsinh}(x),
logo uma primitiva é
\operatorname{arcsinh}(x) + C.
Como forma alternativa, sabe-se que \displaystyle \operatorname{arcsinh}(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr),
então também podemos escrever
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,\mathrm{d}x = \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,\mathrm{d}x = \operatorname{arcsinh}(x) + C \quad\text{ou}\quad \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr) + C.

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