Calcule as integrais:
\int \frac{5 x^{2}+7 x^{1 / 3}+2}{x^{4 / 3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5 x^{2} + 7 x^{1/3} + 2}{x^{4/3}} \,dx.
O conteúdo principal é manipular potências (divisão de potências) e depois aplicar a regra de potência para integração.

Passo 2

Vamos primeiro simplificar o integrando usando x^{a}/x^{b}=x^{a-b}:
\frac{5 x^{2} + 7 x^{1/3} + 2}{x^{4/3}} =5\,x^{2-\tfrac{4}{3}}+7\,x^{\tfrac{1}{3}-\tfrac{4}{3}}+2\,x^{-\tfrac{4}{3}} =5\,x^{2/3}+7\,x^{-1}+2\,x^{-4/3}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo pela regra de potência \displaystyle \int x^{n}dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1} (exceto n=-1, caso em que usamos \ln|x|):
\int 5\,x^{2/3}dx =5\cdot\frac{x^{5/3}}{5/3} =3\,x^{5/3},
\int 7\,x^{-1}dx =7\,\ln\lvert x\rvert,
\int 2\,x^{-4/3}dx =2\cdot\frac{x^{-1/3}}{-1/3} =-6\,x^{-1/3}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a antiderivada geral:
F(x)=3\,x^{5/3}+7\,\ln\lvert x\rvert-6\,x^{-1/3}+C.

Resposta

A integral vale
3\,x^{5/3}+7\,\ln\lvert x\rvert-6\,x^{-1/3}+C.

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