Encontre uma função primitiva F(x) da função f(x)=\frac{-1}{\sqrt{x^{3}}}+3 x^{2}-5 que satisfaça F(1)=3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva F(x) de
f(x)=\frac{-1}{\sqrt{x^{3}}}+3x^{2}-5
sujeita à condição F(1)=3.
O conteúdo aqui é integração de soma de potências e de constantes, usando a regra de potência
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n\neq -1),
e a regra \int a\,dx = a\,x + C para a constante.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
f(x) = -\,x^{-\tfrac32} + 3x^{2} - 5.
Agora integramos termo a termo:
  1. \displaystyle \int -\,x^{-\tfrac32}\,dx = -\frac{x^{-\tfrac12}}{-\tfrac12} = 2\,x^{-\tfrac12}.
  2. \displaystyle \int 3x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^{3}.
  3. \displaystyle \int (-5)\,dx = -5x.
    Somando, a primitiva geral é
F(x)=2\,x^{-\tfrac12} + x^{3} - 5x + C.

Passo 3

Usamos F(1)=3 para achar C:
F(1)=2\cdot1^{-\tfrac12}+1^{3}-5\cdot1 + C = 2+1-5 + C = -2 + C = 3
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C = 5.

Passo 4

Substituindo C=5 em F(x), obtemos a primitiva que satisfaz a condição inicial.

Resposta

F(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + x^{3} - 5x + 5.

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