Calcule as integrais:
\int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função \dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}, isto é, encontrar uma função F(x) tais que \dfrac{d}{dx}F(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}.\n
Informações dadas: temos a integral
\int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}\,dx.
Não há outras condições (constante de integração é livre). A tarefa é produzir uma primitiva explícita.

Passo 2

Estratégia inicial (substituição que simplifica a raiz): como aparece \sqrt{x}, uma substituição natural é tomar a variável nova igual à raiz. Faça
x = t^{2},
logo
dx = 2t\,dt, \qquad \sqrt{x}=t.
Substituindo na integral original obtemos uma integral racional em t. Vamos transformar isso explicitamente.

Passo 3

Substituindo x=t^{2} em \displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}\,dx vem
\int \frac{t}{t^{4}+1}\cdot 2t\,dt = \int \frac{2t^{2}}{t^{4}+1}\,dt.
Portanto precisamos calcular
\int \frac{2t^{2}}{t^{4}+1}\,dt.
Agora trabalhamos essa integral racional.

Passo 4

Fatoração do denominador e preparação para frações parciais: o polinômio t^{4}+1 fatoriza em quadráticos reais:
t^{4}+1 = \bigl(t^{2}+\sqrt{2}\,t+1\bigr)\bigl(t^{2}-\sqrt{2}\,t+1\bigr).
Então podemos tentar escrever
\frac{2t^{2}}{t^{4}+1}=\frac{At+B}{t^{2}+\sqrt{2}\,t+1}+\frac{Ct+D}{t^{2}-\sqrt{2}\,t+1},
e determinar A,B,C,D comparando numeradores.

Passo 5

Determinação dos coeficientes: multiplicando ambos os lados por t^{4}+1\) obtemos \[2t^{2}=(At+B)(t^{2}-\sqrt{2}\,t+1)+(Ct+D)(t^{2}+\sqrt{2}\,t+1).
Expandindo e agrupando termos em potências de t obtemos o sistema (com \alpha=\sqrt{2}):
\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] - A\alpha + B + C\alpha + D = 2,\\[4pt] A - B\alpha + C + D\alpha = 0,\\[4pt] B + D = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações vemos que C=-A\] e \(D=-B. Substituindo isso nas demais equações resulta em
-2A\alpha = 2 \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{\alpha}=-\frac{1}{\sqrt{2}},
e com A+C=0 temos C=\frac{1}{\sqrt{2}}. Das outras equações vem B=0 e D=0. Logo a decomposição é
\frac{2t^{2}}{t^{4}+1} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{t}{t^{2}+\sqrt{2}\,t+1}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{t}{t^{2}-\sqrt{2}\,t+1}.]

Passo 6

Redução à integração de duas parcelas simples: então
\int \frac{2t^{2}}{t^{4}+1}\,dt = \frac{1}{\sqrt{2}}\int\left(\frac{t}{t^{2}-\sqrt{2}\,t+1}-\frac{t}{t^{2}+\sqrt{2}\,t+1}\right)dt.
Falta calcular integrais do tipo \displaystyle \int \frac{t}{t^{2}+at+1}\,dt para a=\pm\sqrt{2}. Vamos tratar essa integral de forma genérica.

Passo 7

Integração genérica de \displaystyle \int \frac{t}{t^{2}+at+1}\,dt: primeiro completamos o quadrado no denominador:
t^{2}+at+1=(t+\tfrac{a}{2})^{2}+\Bigl(1-\tfrac{a^{2}}{4}\Bigr).
No nosso caso a^{2}=2, então 1-\tfrac{a^{2}}{4}=1-\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}. Escrevemos o numerador como
t=(t+\tfrac{a}{2})-\tfrac{a}{2}.
Assim
\frac{t}{t^{2}+at+1}=\frac{t+\tfrac{a}{2}}{t^{2}+at+1}-\frac{a/2}{t^{2}+at+1}.
A primeira parte integra-se por substituição simples porque a derivada do denominador é 2(t+\tfrac{a}{2}). Obtemos
\int \frac{t+\tfrac{a}{2}}{t^{2}+at+1}\,dt=\frac{1}{2}\ln\bigl(t^{2}+at+1\bigr).
A segunda parte é uma integral do tipo \displaystyle\int \frac{1}{(t+\tfrac{a}{2})^{2}+\tfrac{1}{2}}\,dt, que é uma arctan. Em detalhe,
\int \frac{1}{(t+\tfrac{a}{2})^{2}+\tfrac{1}{2}}\,dt = \sqrt{2}\,\arctan\!\bigl(\sqrt{2}\,(t+\tfrac{a}{2})\bigr).
Juntando,
\int \frac{t}{t^{2}+at+1}\,dt = \frac{1}{2}\ln\bigl(t^{2}+at+1\bigr) - \frac{a}{2}\sqrt{2}\,\arctan\!\bigl(\sqrt{2}(t+\tfrac{a}{2})\bigr) + C.
Observe que para a=\pm\sqrt{2} a combinação \dfrac{a}{2}\sqrt{2} vale respectivamente +1 e -1, o que simplifica bem as expressões.

Passo 8

Aplicando ao nosso caso (somando as duas parcelas): para a=\sqrt{2} e a=-\sqrt{2} obtemos
\int \frac{t}{t^{2}-\sqrt{2}t+1}\,dt = \frac{1}{2}\ln\bigl(t^{2}-\sqrt{2}t+1\bigr) + \arctan\!\bigl(\sqrt{2}\,t-1\bigr)+C,
\int \frac{t}{t^{2}+\sqrt{2}t+1}\,dt = \frac{1}{2}\ln\bigl(t^{2}+\sqrt{2}t+1\bigr) - \arctan\!\bigl(\sqrt{2}\,t+1\bigr)+C.
Portanto a diferença é
\begin{aligned} \int\left(\frac{t}{t^{2}-\sqrt{2}t+1}-\frac{t}{t^{2}+\sqrt{2}t+1}\right)dt &=\tfrac{1}{2}\ln\!\frac{t^{2}-\sqrt{2}t+1}{t^{2}+\sqrt{2}t+1}\\[4pt] &\quad +\bigl(\arctan(\sqrt{2}\,t-1)+\arctan(\sqrt{2}\,t+1)\bigr)+C. \end{aligned}]

Passo 9

Simplificação da soma de arctangentes: usamos a identidade
\arctan u+\arctan v = \arctan\!\left(\frac{u+v}{1-uv}\right)+\text{constante de ramo},
aplicando com u=\sqrt{2}\,t-1 e v=\sqrt{2}\,t+1. Calculamos
\frac{u+v}{1-uv}=\frac{2\sqrt{2}\,t}{1-\bigl(\sqrt{2}\,t-1\bigr)\bigl(\sqrt{2}\,t+1\bigr)} =\frac{2\sqrt{2}\,t}{1-(2t^{2}-1)}=\frac{2\sqrt{2}\,t}{2(1-t^{2})}=\frac{\sqrt{2}\,t}{1-t^{2}}.
Logo, até uma constante, a soma das arctangentes é \arctan\!\bigl(\dfrac{\sqrt{2}\,t}{1-t^{2}}\bigr). (Qualquer diferença de múltiplos de \pi pode ser absorvida na constante de integração.)

Passo 10

Reescrevendo tudo e voltando para x (lembre que t=\sqrt{x} e t^{2}=x): juntando o fator \dfrac{1}{\sqrt{2}} que tínhamos no Passo 6, obtemos uma primitiva:
\int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\!\left(\frac{x-\sqrt{2x}+1}{x+\sqrt{2x}+1}\right) +\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{\sqrt{2x}}{1-x}\right)+C.

Resposta

\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\!\left(\frac{x-\sqrt{2x}+1}{x+\sqrt{2x}+1}\right) +\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{\sqrt{2x}}{1-x}\right)+C

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