Calcule as integrais: \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1} d x
Passo 1
O que o problema pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função \dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}, isto é, encontrar uma função F(x) tais que \dfrac{d}{dx}F(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}.\n
Informações dadas: temos a integral
\int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}\,dx.
Não há outras condições (constante de integração é livre). A tarefa é produzir uma primitiva explícita.
Passo 2
Estratégia inicial (substituição que simplifica a raiz): como aparece \sqrt{x}, uma substituição natural é tomar a variável nova igual à raiz. Faça
x = t^{2},
logo
dx = 2t\,dt, \qquad \sqrt{x}=t.
Substituindo na integral original obtemos uma integral racional em t. Vamos transformar isso explicitamente.
Passo 3
Substituindo x=t^{2} em \displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}\,dx vem
Logo, até uma constante, a soma das arctangentes é \arctan\!\bigl(\dfrac{\sqrt{2}\,t}{1-t^{2}}\bigr). (Qualquer diferença de múltiplos de \pi pode ser absorvida na constante de integração.)
Passo 10
Reescrevendo tudo e voltando para x (lembre que t=\sqrt{x} e t^{2}=x): juntando o fator \dfrac{1}{\sqrt{2}} que tínhamos no Passo 6, obtemos uma primitiva: