Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
Informações dadas: o integrando é a função
e os limites de integração são
e
.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Primeiro elemento importante: reconhecer uma fatoração óbvia do denominador. Observe que
Portanto o integrando pode ser reescrito como
Passo 3
Uma boa mudança de variável aqui é simplificar as potências de
. Faço a substituição
Então
, ou seja
. Também os limites mudam: quando
temos
; quando
temos
.
Agora escrevo como
.
Substituindo no integrando:
Agora escrevo
Substituindo no integrando:
Passo 4
Agora preciso integrar a função racional
. Uma técnica simples é reescrever essa fração em termos de potências de
. Vou procurar uma identidade do tipo
Mas há um jeito rápido: considere expandir a expressão
Somando as frações com denominador
obtemos
Logo a identidade é válida:
Passo 5
Substituindo essa decomposição dentro da integral obtida no Passo 3:
Passo 6
Agora integro termo a termo. Preciso das primitivas:
A última segue porque a derivada de
é
.
Passo 7
Aplicando as primitivas e lembrando do fator
:
Passo 8
Agora avalio nos limites. Para
obtenho
Para
obtenho
já que
. Subtraindo
dá
Multiplicando pelo fator
temos o valor final
Passo 9
Como checagem rápida, numericamente
, que é um valor pequeno e positivo — coerente com o integrando positivo e pequeno no intervalo
.