Calcule as integrais:
\int_{0}^{1} \frac{x^{5}}{x^{4}+2 x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{5}}{x^{4}+2 x^{2}+1}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função \dfrac{x^{5}}{x^{4}+2x^{2}+1} e os limites de integração são 0 e 1.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro elemento importante: reconhecer uma fatoração óbvia do denominador. Observe que
(x^{2}+1)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1.
Portanto o integrando pode ser reescrito como
\frac{x^{5}}{x^{4}+2x^{2}+1}=\frac{x^{5}}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Uma boa mudança de variável aqui é simplificar as potências de x. Faço a substituição
u=x^{2}.
Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{du}{2}. Também os limites mudam: quando x=0 temos u=0; quando x=1 temos u=1.
Agora escrevo x^{5}\,dx como x^{4}\cdot x\,dx=(x^{2})^{2}\cdot x\,dx=u^{2}\cdot \dfrac{du}{2}.
Substituindo no integrando:
\int_{0}^{1}\frac{x^{5}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{u^{2}}{(u+1)^{2}}\,du.

Passo 4

Agora preciso integrar a função racional \dfrac{u^{2}}{(u+1)^{2}}. Uma técnica simples é reescrever essa fração em termos de potências de (u+1). Vou procurar uma identidade do tipo
\frac{u^{2}}{(u+1)^{2}}=A + \frac{B}{u+1}+\frac{C}{(u+1)^{2}}.
Mas há um jeito rápido: considere expandir a expressão
1-\frac{2}{u+1}+\frac{1}{(u+1)^{2}}.
Somando as frações com denominador (u+1)^{2} obtemos
\frac{(u+1)^{2}-2(u+1)+1}{(u+1)^{2}}=\frac{u^{2}}{(u+1)^{2}}.
Logo a identidade é válida:
\frac{u^{2}}{(u+1)^{2}}=1-\frac{2}{u+1}+\frac{1}{(u+1)^{2}}.

Passo 5

Substituindo essa decomposição dentro da integral obtida no Passo 3:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{u^{2}}{(u+1)^{2}}\,du=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(1-\frac{2}{u+1}+\frac{1}{(u+1)^{2}}\right)du.

Passo 6

Agora integro termo a termo. Preciso das primitivas:
\int 1\,du = u,
\int \frac{1}{u+1}\,du = \ln(u+1),
\int \frac{1}{(u+1)^{2}}\,du = \int (u+1)^{-2}\,du = -(u+1)^{-1}.
A última segue porque a derivada de (u+1)^{-1} é -1\cdot (u+1)^{-2}.

Passo 7

Aplicando as primitivas e lembrando do fator \dfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\left[ u - 2\ln(u+1) - \frac{1}{u+1} \right]_{0}^{1}.

Passo 8

Agora avalio nos limites. Para u=1 obtenho
1 - 2\ln 2 - \frac{1}{2}.
Para u=0 obtenho
0 - 2\ln 1 - \frac{1}{1}= -1,
já que \ln 1=0. Subtraindo \big(\text{valor em }1\big) - \big(\text{valor em }0\big)
\left(1 - 2\ln 2 - \tfrac{1}{2}\right) - (-1)=\tfrac{3}{2}-2\ln 2.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} temos o valor final
\frac{1}{2}\left(\tfrac{3}{2}-2\ln 2\right)=\tfrac{3}{4}-\ln 2.

Passo 9

Como checagem rápida, numericamente \tfrac{3}{4}-\ln 2\approx 0{,}75-0{,}6931\approx 0{,}0569, que é um valor pequeno e positivo — coerente com o integrando positivo e pequeno no intervalo [0,1].

Resposta

\dfrac{3}{4}-\ln 2

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