Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas (o que aparece no integrando):
ou seja, temos potências de
e
, e a potência de
é ímpar (
). Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: isolar um fator de
que pode combinar com
para uma substituição conveniente. Escrevo
Então a integral fica
Passo 3
Agora usamos a identidade trigonométrica fundamental que relaciona
e
. A identidade é
Dessa identidade segue que
Expliquei isto porque sempre que aparece
é comum substituir por
para expressar tudo em função de
(útil quando queremos usar
).
Passo 4
Substituo
em
:
Portanto o integrando vira
Reescrevo
como
para evidenciar um fator
:
Passo 5
Agora faço a substituição adequada. Observe que a derivada de
é
, isto é,
Logo, tomo a substituição
Com isso, o fator
se torna
, e os restantes
e
ficam em termos de
pois
. Assim a integral transforma-se em uma integral polinomial:
Passo 6
Expando o polinômio para integrar facilmente. Primeiro
Multiplicando por
:
Portanto a integral em
é
Agora aplico a regra do poder para integrais: para
,
Integrando termo a termo:
Somando:
Passo 7
Volto à variável original usando
. Substituindo:
Pronto — essa é uma primitiva da função dada. Você pode verificar derivando (regra da cadeia e produto), mas o processo está completo.