Calcule as integrais:
\int \operatorname{sec} ^{3}(x) \operatorname{tg}^{5}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sec}^{3}(x)\,\tan^{5}(x)\,dx.
Informações dadas (o que aparece no integrando):
\operatorname{sec}^{3}(x),\quad \tan^{5}(x)
ou seja, temos potências de \operatorname{sec} x e \tan x, e a potência de \tan x é ímpar ( \tan^{5}x). Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: isolar um fator de \tan x que pode combinar com \operatorname{sec} x para uma substituição conveniente. Escrevo
\tan^{5}x = \tan^{4}x\cdot \tan x = (\tan^{2}x)^{2}\cdot \tan x.
Então a integral fica
\int \operatorname{sec}^{3}x\;(\tan^{2}x)^{2}\;\tan x\,dx.

Passo 3

Agora usamos a identidade trigonométrica fundamental que relaciona \tan x e \operatorname{sec} x. A identidade é
1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x.
Dessa identidade segue que
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Expliquei isto porque sempre que aparece \tan^{2}x é comum substituir por \operatorname{sec}^{2}x-1 para expressar tudo em função de \operatorname{sec} x (útil quando queremos usar u=\operatorname{sec} x).

Passo 4

Substituo \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1 em (\tan^{2}x)^{2}:
(\tan^{2}x)^{2}=(\operatorname{sec}^{2}x-1)^{2}.
Portanto o integrando vira
\operatorname{sec}^{3}x\;(\operatorname{sec}^{2}x-1)^{2}\;\tan x.
Reescrevo \operatorname{sec}^{3}x como \operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec} x para evidenciar um fator \operatorname{sec} x\tan x\,dx:
\operatorname{sec}^{3}x\;(\operatorname{sec}^{2}x-1)^{2}\;\tan x = \operatorname{sec}^{2}x\;(\operatorname{sec}^{2}x-1)^{2}\;(\operatorname{sec} x\tan x).

Passo 5

Agora faço a substituição adequada. Observe que a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x, isto é,
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x.
Logo, tomo a substituição
u=\operatorname{sec} x \quad\Rightarrow\quad du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx.
Com isso, o fator \operatorname{sec} x\tan x\,dx se torna du, e os restantes \operatorname{sec}^{2}x e \operatorname{sec}^{2}x-1 ficam em termos de u pois \operatorname{sec}^{2}x=u^{2}. Assim a integral transforma-se em uma integral polinomial:
\int \operatorname{sec}^{2}x\;(\operatorname{sec}^{2}x-1)^{2}\;(\operatorname{sec} x\tan x)\,dx = \int u^{2}\,(u^{2}-1)^{2}\,du.

Passo 6

Expando o polinômio para integrar facilmente. Primeiro
(u^{2}-1)^{2}=u^{4}-2u^{2}+1.
Multiplicando por u^{2}:
u^{2}(u^{4}-2u^{2}+1)=u^{6}-2u^{4}+u^{2}.
Portanto a integral em u é
\int (u^{6}-2u^{4}+u^{2})\,du.
Agora aplico a regra do poder para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Integrando termo a termo:
\int u^{6}\,du=\frac{u^{7}}{7},\qquad \int -2u^{4}\,du=-2\cdot\frac{u^{5}}{5}=-\frac{2u^{5}}{5},\qquad \int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3}.
Somando:
\frac{u^{7}}{7}-\frac{2u^{5}}{5}+\frac{u^{3}}{3}+C.

Passo 7

Volto à variável original usando u=\operatorname{sec} x. Substituindo:
\frac{u^{7}}{7}-\frac{2u^{5}}{5}+\frac{u^{3}}{3}+C = \frac{\operatorname{sec}^{7}x}{7}-\frac{2\operatorname{sec}^{5}x}{5}+\frac{\operatorname{sec}^{3}x}{3}+C.
Pronto — essa é uma primitiva da função dada. Você pode verificar derivando (regra da cadeia e produto), mas o processo está completo.

Resposta

\frac{\operatorname{sec}^{7}x}{7}-\frac{2\operatorname{sec}^{5}x}{5}+\frac{\operatorname{sec}^{3}x}{3}+C

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