Calcule as integrais
\int \frac{1-\tan ^{2} t}{\operatorname{sec} ^{2} t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1 - \tan^{2}t}{\operatorname{sec}^{2}t}\,dt.
Estamos fazendo uma integral de função trigonométrica e vamos usar as definições \tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t}, \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t}
e a identidade de ângulo duplo \cos2t = \cos^{2}t - \sin^{2}t.

Passo 2

Reescrevendo o integrando em termos de \sin t e \cos t:
\frac{1-\tan^{2}t}{\operatorname{sec}^{2}t} = \frac{1 - \frac{\sin^{2}t}{\cos^{2}t}}{\frac{1}{\cos^{2}t}} = \frac{\frac{\cos^{2}t - \sin^{2}t}{\cos^{2}t}}{\frac{1}{\cos^{2}t}} = \cos^{2}t - \sin^{2}t.

Passo 3

Reconhecemos a identidade de ângulo duplo:
\cos^{2}t - \sin^{2}t = \cos(2t).
Logo a integral original fica
\int \cos(2t)\,dt.

Passo 4

Integramos \cos(2t) usando a regra \int \cos(k t)\,dt = \tfrac{1}{k}\sin(k t):
\int \cos(2t)\,dt = \frac{1}{2}\,\sin(2t) + C.

Passo 5

Podemos usar \sin(2t)=2\sin t\cos t para escrever a resposta de forma mais simples:
\frac{1}{2}\sin(2t) = \sin t\cos t.

Resposta

\sin t\cos t + C.

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