Utilizando-se das técnicas envolvendo cotangentes e cossecantes, que são análogas as do caso envolvendo secantes e tangentes, calcule
\int \operatorname{cosec}^{4} x \operatorname{cotan}^{6} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \csc^{4}x \,\cot^{6}x \,dx
usando técnicas análogas às de secante e tangente. O conteúdo aqui é integrar potências de \csc x e \cot x, e vamos precisar da identidade
\csc^{2}x = 1 + \cot^{2}x
e da substituição
u = \cot x,\quad du = -\csc^{2}x\,dx.

Passo 2

Para aplicar a substituição, primeiro separe um fator \csc^{2}x\,dx. Escreva
\csc^{4}x = \csc^{2}x \cdot \csc^{2}x,
de modo que
\int \csc^{4}x\,\cot^{6}x\,dx = \int \Bigl(\csc^{2}x\,\cot^{6}x\Bigr)\,\csc^{2}x\,dx.

Passo 3

Agora faça a troca de variável u = \cot x. Como du = -\csc^{2}x\,dx, temos
\int \csc^{4}x\,\cot^{6}x\,dx = \int \bigl(u^{6}\bigr)\,\bigl(\csc^{2}x\bigr)\,(-du).
Mas usando \csc^{2}x = 1 + \cot^{2}x = 1 + u^{2}, a integral em u fica
- \int u^{6}(1 + u^{2})\,du = -\int \bigl(u^{6} + u^{8}\bigr)\,du.

Passo 4

Integre o polinômio em u:
- \int \bigl(u^{6} + u^{8}\bigr)\,du = -\biggl(\frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{9}}{9}\biggr) + C.

Passo 5

Retorne à variável original usando u = \cot x:
-\frac{\cot^{7}x}{7} \;-\;\frac{\cot^{9}x}{9} + C.

Resposta

-\frac{\cot^{7}x}{7} \;-\;\frac{\cot^{9}x}{9} + C

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