Calcule as integrais
\int \operatorname{sec} ^{4}\left(\frac{x}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sec}^{4}\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências de \operatorname{sec} com argumento linear. Vamos usar duas substituições: primeiro u=\tfrac{x}{2} para simplificar o argumento, depois t=\tan u para tratar a potência de \operatorname{sec}.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \frac{x}{2}, \quad dx = 2\,du,
temos
\int \operatorname{sec}^{4}\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\,dx = 2 \int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du, note que
\operatorname{sec}^{4}(u) = \operatorname{sec}^{2}(u)\,\operatorname{sec}^{2}(u) = \operatorname{sec}^{2}(u)\,\bigl(1+\tan^{2}(u)\bigr).
Fazendo a substituição
t = \tan(u), \quad dt = \operatorname{sec}^{2}(u)\,du,
obtém-se
\int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du = \int \bigl(1+t^{2}\bigr)\,dt = t + \frac{t^{3}}{3} + C.

Passo 4

Voltando a u e depois a x, temos
t = \tan(u) \quad\Longrightarrow\quad \int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du = \tan(u) + \frac{\tan^{3}(u)}{3} + C.
Multiplicando pelo fator 2 que apareceu em

Passo 5

\int \operatorname{sec}^{4}\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\,dx = 2\!\Bigl(\tan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + \tfrac{1}{3}\tan^{3}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr) + C.

Resposta

2\,\tan\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) +\frac{2}{3}\,\tan^{3}\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) + C.

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