Calcule as integrais
e) \int \frac{x^{3}-4 x-10}{x^{2}-x-6} \mathrm{~d} x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a integral \displaystyle \int \frac{x^{3}-4 x-10}{x^{2}-x-6}\, \mathrm{d}x.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • O numerador é o polinômio x^{3}-4x-10, de grau 3.
    • O denominador é o polinômio x^{2}-x-6, de grau 2.
    • O enunciado pede calcular a primitiva dessa função racional, isto é, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{3}-4x-10}{x^{2}-x-6}.

Passo 2

Por que iniciar com divisão de polinômios (explicação didática):
  • Quando se integra uma fração racional e o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador, é conveniente dividir os polinômios primeiro. Isso transforma a integral numa soma de um polinômio (fácil de integrar) e uma fração cuja parte racional tem numerador de grau menor que o denominador, o que permite aplicar decomposição em frações parciais.
  • Aqui o grau do numerador ( 3) é maior que o do denominador ( 2), então vamos fazer a divisão polinomial \dfrac{x^{3}-4x-10}{x^{2}-x-6}.

Passo 3

Realizando a divisão polinomial passo a passo:
  • Divida o termo líder x^{3} por x^{2}: obtém-se x.
  • Multiplica-se o divisor por x:
x\cdot\bigl(x^{2}-x-6\bigr)=x^{3}-x^{2}-6x.
  • Subtrai-se do numerador original:
(x^{3}+0\cdot x^{2}-4x-10)-\bigl(x^{3}-x^{2}-6x\bigr)=x^{2}+2x-10.
  • Agora divide-se x^{2} por x^{2}: obtém-se +1.
  • Multiplica-se o divisor por 1:
1\cdot\bigl(x^{2}-x-6\bigr)=x^{2}-x-6.
  • Subtrai-se:
(x^{2}+2x-10)-\bigl(x^{2}-x-6\bigr)=3x-4.
  • Resultado da divisão: quociente x+1 e resto 3x-4. Portanto
\frac{x^{3}-4x-10}{x^{2}-x-6}=x+1+\frac{3x-4}{x^{2}-x-6}.

Passo 4

Reescrevendo a integral usando o resultado da divisão:
\int \frac{x^{3}-4x-10}{x^{2}-x-6}\, \mathrm{d}x =\int (x+1)\, \mathrm{d}x+\int \frac{3x-4}{x^{2}-x-6}\, \mathrm{d}x.
A primeira integral é imediata; a segunda precisa ser tratada por decomposição em frações parciais porque o numerador agora tem grau menor que o denominador.

Passo 5

Fatorando o denominador e configurando a decomposição:
  • O denominador x^{2}-x-6 fatoriza como
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
  • Como são fatores lineares distintos, a decomposição tem a forma
\frac{3x-4}{(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 6

Determinar A e B (resolução do sistema):
  • Escrevendo em denominador comum e comparando numeradores:
3x-4 = A(x+2)+B(x-3) = (A+B)x + (2A-3B).
  • Igualando coeficientes das potências de x:
    • Coeficiente de x: A+B=3.
    • Termo constante: 2A-3B=-4.
  • Resolver o sistema: de A=3-B. Substituindo,
2(3-B)-3B=-4 \quad\Rightarrow\quad 6-5B=-4 \quad\Rightarrow\quad -5B=-10 \quad\Rightarrow\quad B=2.
  • Então A=3-B=3-2=1.
  • Logo
\frac{3x-4}{x^{2}-x-6}=\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x+2}.

Passo 7

Integrando cada termo (fórmulas usadas e por que):
  • Fórmulas básicas que usamos:
    • \displaystyle \int x\,\mathrm{d}x=\frac{x^{2}}{2}+C. Aqui x é a variável de integração; ao integrar somamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente.
    • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,\mathrm{d}x=\ln|x-a|+C. A presença do valor absoluto vem porque o logaritmo natural só aceita argumento positivo; a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a} para x\neq a.
  • Aplicando às parcelas:
    • \displaystyle \int (x+1)\,\mathrm{d}x=\frac{x^{2}}{2}+x.
    • \displaystyle \int \frac{1}{x-3}\,\mathrm{d}x=\ln|x-3|.
    • \displaystyle \int \frac{2}{x+2}\,\mathrm{d}x=2\ln|x+2|.

Passo 8

Juntando tudo e escrevendo a primitiva geral:
\int \frac{x^{3}-4x-10}{x^{2}-x-6}\, \mathrm{d}x =\frac{x^{2}}{2}+x+\ln|x-3|+2\ln|x+2|+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+x+\ln|x-3|+2\ln|x+2|+C

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