Calcule as integrais
e)
e)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a integral
. - Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é o polinômio
, de grau . - O denominador é o polinômio
, de grau . - O enunciado pede calcular a primitiva dessa função racional, isto é, encontrar uma função
tal que .
- O numerador é o polinômio
Passo 2
Por que iniciar com divisão de polinômios (explicação didática):
- Quando se integra uma fração racional e o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador, é conveniente dividir os polinômios primeiro. Isso transforma a integral numa soma de um polinômio (fácil de integrar) e uma fração cuja parte racional tem numerador de grau menor que o denominador, o que permite aplicar decomposição em frações parciais.
- Aqui o grau do numerador (
) é maior que o do denominador ( ), então vamos fazer a divisão polinomial .
Passo 3
Realizando a divisão polinomial passo a passo:
- Divida o termo líder
por : obtém-se . - Multiplica-se o divisor por
:
- Subtrai-se do numerador original:
- Agora divide-se
por : obtém-se . - Multiplica-se o divisor por
:
- Subtrai-se:
- Resultado da divisão: quociente
e resto . Portanto
Passo 4
Reescrevendo a integral usando o resultado da divisão:
A primeira integral é imediata; a segunda precisa ser tratada por decomposição em frações parciais porque o numerador agora tem grau menor que o denominador.
Passo 5
Fatorando o denominador e configurando a decomposição:
- O denominador
fatoriza como
- Como são fatores lineares distintos, a decomposição tem a forma
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 6
Determinar
e
(resolução do sistema):
- Escrevendo em denominador comum e comparando numeradores:
- Igualando coeficientes das potências de
: - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
- Coeficiente de
- Resolver o sistema: de
. Substituindo,
- Então
. - Logo
Passo 7
Integrando cada termo (fórmulas usadas e por que):
- Fórmulas básicas que usamos:
-
. Aqui é a variável de integração; ao integrar somamos ao expoente e dividimos pelo novo expoente. -
. A presença do valor absoluto vem porque o logaritmo natural só aceita argumento positivo; a derivada de é para .
-
- Aplicando às parcelas:
-
. -
. -
.
-
Passo 8
Juntando tudo e escrevendo a primitiva geral:
onde
é a constante de integração.