Calcule as integrais
d) \int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{3}} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{3}}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão dentro da raiz é x^{2}-9, logo a raiz é real para |x|\ge 3. Em uma resolução típica assume-se x>3 para usar substituições trigonométricas sem tratar sinais de valor absoluto; no final a primitiva pode ser estendida por continuidade quando apropriado.
  • A integral envolve uma raiz do tipo \sqrt{x^{2}-a^{2}} com a=3; isso sugere uma substituição trigonométrica clássica (ou hiperbólica) para simplificar a raiz.
  • O objetivo é encontrar uma antiderivada explícita, incluindo a constante de integração C.

Passo 2

Motivando a escolha da substituição e explicando a ideia por trás dela (aula curta):
Para integrais com \sqrt{x^{2}-a^{2}} a substituição padrão é
x = a\operatorname{sec}\theta,
porque daí
\sqrt{x^{2}-a^{2}} = \sqrt{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta-a^{2}} = a\tan\theta,
o que transforma a raiz em uma função trigonométrica simples. Além disso, a diferencial é
\mathrm{d}x = a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,\mathrm{d}\theta.
No nosso caso a=3, então escolhemos
x = 3\operatorname{sec}\theta.
Explicando cada símbolo:
  • \theta é a nova variável (um ângulo).
  • \operatorname{sec}\theta = 1/\cos\theta, \tan\theta = \sin\theta/\cos\theta.
  • A substituição é válida para x\ge 3 correspondendo a \theta\in[0,\pi/2)\cup(\pi/2,\pi] conforme necessidade; aqui consideramos o ramo \theta\in[0,\pi/2) para x>3.

Passo 3

Aplicando a substituição x=3\operatorname{sec}\theta. Primeiro, calcule as expressões que aparecem na integral:
\sqrt{x^{2}-9} = 3\tan\theta, \qquad \mathrm{d}x = 3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,\mathrm{d}\theta, \qquad x^{3} = (3\operatorname{sec}\theta)^{3}=27\operatorname{sec}^{3}\theta.
Agora substitui tudo na integral original:
\int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{3}}\,\mathrm{d}x = \int \frac{3\tan\theta}{27\operatorname{sec}^{3}\theta}\cdot\bigl(3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,\mathrm{d}\theta\bigr).

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral passo a passo (mastigando as contas):
Primeiro junte numeradores e denominadores:
\frac{3\tan\theta}{27\operatorname{sec}^{3}\theta}\cdot 3\operatorname{sec}\theta\tan\theta = \frac{9\operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta}{27\operatorname{sec}^{3}\theta}.
Agora reduza fatores numéricos e trigonométricos:
\frac{9}{27}=\frac{1}{3},\qquad \frac{\operatorname{sec}\theta}{\operatorname{sec}^{3}\theta}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}\theta}=\cos^{2}\theta.
Portanto a integranda vira
\frac{1}{3}\tan^{2}\theta\cos^{2}\theta.
Use \tan^{2}\theta=\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} para simplificar ainda mais:
\frac{1}{3}\tan^{2}\theta\cos^{2}\theta = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\cdot\cos^{2}\theta = \frac{1}{3}\sin^{2}\theta.
Logo a integral transformou-se em
\int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{3}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int \sin^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta.

Passo 5

Integrando \sin^{2}\theta (lembrando fórmula reduzida):
Para integrar potências de seno usa-se a identidade de ângulo duplo:
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}.
Assim
\frac{1}{3}\int \sin^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{3}\int \frac{1-\cos 2\theta}{2}\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{6}\int (1-\cos 2\theta)\,\mathrm{d}\theta.
Integre termo a termo:
\frac{1}{6}\left(\theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta\right) + C.
Portanto, em termos de \theta,
\int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{3}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{6}\theta - \frac{1}{12}\sin 2\theta + C.

Passo 6

Voltar para a variável x. Precisamos escrever \theta e \sin 2\theta em função de x. Usando a substituição x=3\operatorname{sec}\theta obtemos:
\operatorname{sec}\theta = \frac{x}{3}\quad\Rightarrow\quad \cos\theta = \frac{3}{x}.
Com isso, a expressão para \theta pode ser escrita como
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{x}\right).
Agora calcule \sin 2\theta. Primeiro \sin\theta pode ser obtido por uma relação trigonométrica:
\tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3},\qquad \sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}.
Mais direto, usando a identidade \sin\theta = \tan\theta\cos\theta:
\sin\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}\cdot\frac{3}{x}=\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}.
\cos\theta=\dfrac{3}{x}. Então
\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}\cdot\frac{3}{x} = \frac{6\sqrt{x^{2}-9}}{x^{2}}.

Passo 7

Substitua \theta e \sin 2\theta na primitiva encontrada:
\frac{1}{6}\theta - \frac{1}{12}\sin 2\theta + C = \frac{1}{6}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{x}\right) - \frac{1}{12}\cdot\frac{6\sqrt{x^{2}-9}}{x^{2}} + C.
Simplificando o segundo termo:
\frac{1}{12}\cdot 6 = \frac{1}{2},
logo
\frac{1}{6}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{x}\right) - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{2}} + C.

Passo 8

Interpretação final e observação: a primitiva obtida é válida para x>3 com a escolha de ramos usada. Para outras regiões (por exemplo x<-3) seria preciso tratar sinais de \sqrt{\cdot} e de \operatorname{arccos} ou usar \operatorname{arcsec}; porém a fórmula encontrada é a forma conveniente e usual para a antiderivada em termos de funções elementares.

Resposta

\boxed{\frac{1}{6}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{x}\right)-\frac{1}{2}\,\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{2}}+C}

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