Calcule as integrais
d)
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Passo 1
O enunciado pede calcular a integral imprópria
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão dentro da raiz é
, logo a raiz é real para . Em uma resolução típica assume-se para usar substituições trigonométricas sem tratar sinais de valor absoluto; no final a primitiva pode ser estendida por continuidade quando apropriado. - A integral envolve uma raiz do tipo
com ; isso sugere uma substituição trigonométrica clássica (ou hiperbólica) para simplificar a raiz. - O objetivo é encontrar uma antiderivada explícita, incluindo a constante de integração
.
Passo 2
Motivando a escolha da substituição e explicando a ideia por trás dela (aula curta):
Para integrais com a substituição padrão é
Para integrais com
porque daí
o que transforma a raiz em uma função trigonométrica simples. Além disso, a diferencial é
No nosso caso
, então escolhemos
Explicando cada símbolo:
-
é a nova variável (um ângulo). -
, . - A substituição é válida para
correspondendo a conforme necessidade; aqui consideramos o ramo para .
Passo 3
Aplicando a substituição
. Primeiro, calcule as expressões que aparecem na integral:
Agora substitui tudo na integral original:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral passo a passo (mastigando as contas):
Primeiro junte numeradores e denominadores:
Primeiro junte numeradores e denominadores:
Agora reduza fatores numéricos e trigonométricos:
Portanto a integranda vira
Use
para simplificar ainda mais:
Logo a integral transformou-se em
Passo 5
Integrando
(lembrando fórmula reduzida):
Para integrar potências de seno usa-se a identidade de ângulo duplo:
Para integrar potências de seno usa-se a identidade de ângulo duplo:
Assim
Integre termo a termo:
Portanto, em termos de
,
Passo 6
Voltar para a variável
. Precisamos escrever
e
em função de
. Usando a substituição
obtemos:
Com isso, a expressão para
pode ser escrita como
Agora calcule
. Primeiro
pode ser obtido por uma relação trigonométrica:
Mais direto, usando a identidade
:
Já
. Então
Passo 7
Substitua
e
na primitiva encontrada:
Simplificando o segundo termo:
logo
Passo 8
Interpretação final e observação: a primitiva obtida é válida para
com a escolha de ramos usada. Para outras regiões (por exemplo
) seria preciso tratar sinais de
e de
ou usar
; porém a fórmula encontrada é a forma conveniente e usual para a antiderivada em termos de funções elementares.