Calcule as integrais
c) \int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{2}(2 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}^{2}(2x)\,\mathrm{d}x.
Informações dadas (explicitando tudo): o integrando é \operatorname{sen}^{2}(2x), o intervalo de integração é [0,\pi/2]. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica muito útil para integrar quadrados de seno ou cosseno. A identidade é obtida a partir da fórmula do cosseno do ângulo duplo:
\cos(2\theta)=1-2\operatorname{sen}^{2}\theta.
Reorganizando para \operatorname{sen}^{2}\theta obtemos
\operatorname{sen}^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Aqui \theta é apenas um ângulo genérico; a fórmula diz que o quadrado do seno pode ser escrito como uma combinação de 1 e de \cos(2\theta). Isso é útil porque é mais fácil integrar constantes e cossenos do que integrar \operatorname{sen}^2 diretamente.

Passo 3

Aplicamos a identidade com \theta=2x. Substituindo \theta=2x na fórmula obtemos
\operatorname{sen}^{2}(2x)=\frac{1-\cos(4x)}{2}.
Isso transforma a integral original numa soma (ou diferença) de integrais mais simples.

Passo 4

Substituindo na integral e separando termos:
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^{2}(2x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos(4x)}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}1\,\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos(4x)\,\mathrm{d}x.
Fatoramos as constantes \tfrac{1}{2} para fora das integrais.

Passo 5

Calculamos as primitivas (antiderivadas) necessárias:
  • Para \int 1\,\mathrm{d}x a primitiva é x.
  • Para \int \cos(4x)\,\mathrm{d}x usamos a regra: se \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin(4x)=4\cos(4x), então
\int \cos(4x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{4}\sin(4x).
Portanto uma primitiva para o integrando total é
F(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\sin(4x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}\sin(4x).

Passo 6

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida de 0 a \pi/2:
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^{2}(2x)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}\sin(4x)\right]_{0}^{\pi/2}.
Calculando em x=\pi/2:
\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{1}{8}\sin\big(4\cdot\frac{\pi}{2}\big) = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{8}\sin(2\pi) = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{8}\cdot 0 = \frac{\pi}{4}.
Calculando em x=0:
\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{8}\sin(0)=0-0=0.
Subtraindo, o valor da integral é \dfrac{\pi}{4}.

Passo 7

Breve verificação intuitiva (opcional, só para dar confiança): \operatorname{sen}^{2}(2x) tem valor médio \tfrac{1}{2} ao longo de um período. O período de \operatorname{sen}^{2}(2x) em x é \tfrac{\pi}{2}, e o intervalo de integração tem comprimento \tfrac{\pi}{2}. Logo a integral vale (\text{comprimento do intervalo})\times(\text{valor médio})=(\tfrac{\pi}{2})\times(\tfrac{1}{2})=\tfrac{\pi}{4}é, que coincide com o resultado encontrado.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

Exercícios relacionados