Calcule as integrais
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas (explicitando tudo): o integrando é
, o intervalo de integração é
. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica muito útil para integrar quadrados de seno ou cosseno. A identidade é obtida a partir da fórmula do cosseno do ângulo duplo:
Reorganizando para
obtemos
Aqui
é apenas um ângulo genérico; a fórmula diz que o quadrado do seno pode ser escrito como uma combinação de
e de
. Isso é útil porque é mais fácil integrar constantes e cossenos do que integrar
diretamente.
Passo 3
Aplicamos a identidade com
. Substituindo
na fórmula obtemos
Isso transforma a integral original numa soma (ou diferença) de integrais mais simples.
Passo 4
Substituindo na integral e separando termos:
Fatoramos as constantes
para fora das integrais.
Passo 5
Calculamos as primitivas (antiderivadas) necessárias:
- Para
a primitiva é . - Para
usamos a regra: se , então
Portanto uma primitiva para o integrando total é
Passo 6
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida de
a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo, o valor da integral é
.
Passo 7
Breve verificação intuitiva (opcional, só para dar confiança):
tem valor médio
ao longo de um período. O período de
em
é
, e o intervalo de integração tem comprimento
. Logo a integral vale
, que coincide com o resultado encontrado.