Calcule as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
- Pede calcular a integral indefinida
. - Observação sobre domínio: a expressão
está definida em números reais quando , ou seja para . Durante a resolução consideraremos .
Passo 2
Identificar uma substituição conveniente.
- Note que aparece
em potência e que a derivada de é simples: (porque e ). - Isso sugere a substituição
. Então temos .
Passo 3
Reescrever a integral usando a substituição.
- Substituindo
e na integral original:
Passo 4
Calcular a integral em
.
- A integral
é elementar. Lembre que para . Aqui , logo
Passo 5
Voltar à variável original e explicitar a constante de integração.
- Substituindo
obtemos
onde
é a constante de integração. Isso vale para
.
Passo 6
Verificação rápida por derivação (checagem).
- Derivando a resposta obtida:
que coincide com o integrando, confirmando a solução.