Calcule as integrais:
\int \frac{2}{x \ln ^{2}(2 x)} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{2}{x\ln^{2}(2x)}\,dx.
  • Observação sobre domínio: a expressão \ln(2x) está definida em números reais quando 2x>0, ou seja para x>0. Durante a resolução consideraremos x>0.

Passo 2

Identificar uma substituição conveniente.
  • Note que aparece \ln(2x) em potência e que a derivada de \ln(2x) é simples: \dfrac{d}{dx}\ln(2x)=\dfrac{1}{x} (porque \ln(2x)=\ln 2+\ln x e \dfrac{d}{dx}\ln x=1/x).
  • Isso sugere a substituição \displaystyle u=\ln(2x). Então temos \displaystyle du=\frac{dx}{x}.

Passo 3

Reescrever a integral usando a substituição.
  • Substituindo \;u=\ln(2x)\; e \;du=\dfrac{dx}{x}\; na integral original:
\int \frac{2}{x\ln^{2}(2x)}\,dx = \int 2\cdot\frac{1}{\ln^{2}(2x)}\cdot\frac{dx}{x} = \int 2\cdot\frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u.
  • A integral \displaystyle \int 2u^{-2}\,du é elementar. Lembre que \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Aqui n=-2, logo
\int 2u^{-2}\,du = 2\cdot\frac{u^{-1}}{-1}+C = -2u^{-1}+C.

Passo 5

Voltar à variável original e explicitar a constante de integração.
  • Substituindo u=\ln(2x) obtemos
-2u^{-1}+C = -\frac{2}{u}+C = -\frac{2}{\ln(2x)}+C,
onde C é a constante de integração. Isso vale para x>0.

Passo 6

Verificação rápida por derivação (checagem).
  • Derivando a resposta obtida:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{\ln(2x)}\right) = -2\cdot\left(-1\right)\frac{1}{\ln^{2}(2x)}\cdot\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{\ln^{2}(2x)}\cdot\frac{1}{x} = \frac{2}{x\ln^{2}(2x)},
que coincide com o integrando, confirmando a solução.

Resposta

-\dfrac{2}{\ln(2x)}+C

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