Calcule as integrais:
\int \ln (5 x-3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln(5x-3)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é \ln(5x-3).
  • Como envolve logarítmo, é importante lembrar que o argumento do log deve ser positivo; portanto a primitiva será válida para 5x-3>0 (na prática escrevemos \ln|5x-3| nas primitivas para cobrir o caso geral).
  • Queremos uma antiderivada (uma família de funções, com constante de integração).

Passo 2

Estratégia: usar a fórmula de integração por partes. Vou apresentar a fórmula e explicar por que ela é útil aqui.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são partes da integral escolhidas de forma que du e v sejam mais simples de manipular.
Escolha prática para este problema:
  • tomar u=\ln(5x-3) porque sua derivada simplifica a expressão (derivada de um log dá uma razão);
  • tomar dv=dx porque integrar dx v=x, simples de usar.

Passo 3

Calcular du e v.
Derivada de u:
u=\ln(5x-3)\quad\Rightarrow\quad du=\frac{d}{dx}\bigl(\ln(5x-3)\bigr)\,dx=\frac{5}{5x-3}\,dx.
Explicação rápida: pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\ln(ax+b)=\dfrac{a}{ax+b}.
Integral de dv:
dv=dx\quad\Rightarrow\quad v=\int dx = x.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int \ln(5x-3)\,dx = u v - \int v\,du = x\ln(5x-3) - \int x\cdot\frac{5}{5x-3}\,dx.

Passo 5

Simplificar o integrando remanescente \dfrac{5x}{5x-3}. Faço uma divisão algébrica simples:
\frac{5x}{5x-3} = \frac{5x-3+3}{5x-3} = 1 + \frac{3}{5x-3}.
Logo
\int x\cdot\frac{5}{5x-3}\,dx = \int\left(1 + \frac{3}{5x-3}\right)\,dx.

Passo 6

Integrar termo a termo:
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{5x-3}\,dx usa-se substituição (ou a fórmula direta): \int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|. Assim
\int \frac{3}{5x-3}\,dx = 3\cdot\int\frac{1}{5x-3}\,dx = 3\cdot\frac{1}{5}\ln|5x-3| = \frac{3}{5}\ln|5x-3|.

Passo 7

Reunindo tudo:
\int \ln(5x-3)\,dx = x\ln(5x-3) - \left( x + \frac{3}{5}\ln|5x-3| \right) + C.
Organizando:
\int \ln(5x-3)\,dx = x\ln|5x-3| - x - \frac{3}{5}\ln|5x-3| + C.
Opcionalmente pode-se fatorar o log:
\int \ln(5x-3)\,dx = \left(x - \frac{3}{5}\right)\ln|5x-3| - x + C.

Passo 8

Checagem rápida por diferenciação (verificação): derivando
x\ln|5x-3| - x - \frac{3}{5}\ln|5x-3|
obtem-se \ln(5x-3), confirmando que a primitiva está correta (mais uma constante).

Passo 9

Força aí — essa técnica de integrar logaritmos via partes é a ferramenta padrão. Se quiser, dá para praticar com \int \ln(ax+b)\,dx e ver que sempre resulta em \left(x-\tfrac{b}{a}\right)\ln|ax+b|-x+C após simplificar.

Resposta

x\ln|5x-3| - x - \frac{3}{5}\ln|5x-3| + C

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