Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - Como envolve logarítmo, é importante lembrar que o argumento do log deve ser positivo; portanto a primitiva será válida para
(na prática escrevemos nas primitivas para cobrir o caso geral). - Queremos uma antiderivada (uma família de funções, com constante de integração).
Passo 2
Estratégia: usar a fórmula de integração por partes. Vou apresentar a fórmula e explicar por que ela é útil aqui.
A fórmula de integração por partes é
onde
e
são partes da integral escolhidas de forma que
e
sejam mais simples de manipular.
Escolha prática para este problema:
- tomar
porque sua derivada simplifica a expressão (derivada de um log dá uma razão); - tomar
porque integrar dá , simples de usar.
Passo 3
Calcular
e
.
Derivada de
:
Explicação rápida: pela regra da cadeia,
.
Integral de
:
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Passo 5
Simplificar o integrando remanescente
. Faço uma divisão algébrica simples:
Logo
Passo 6
Integrar termo a termo:
-
- Para
usa-se substituição (ou a fórmula direta): . Assim
Passo 7
Reunindo tudo:
Organizando:
Opcionalmente pode-se fatorar o log:
Passo 8
Checagem rápida por diferenciação (verificação): derivando
obtem-se
, confirmando que a primitiva está correta (mais uma constante).
Passo 9
Força aí — essa técnica de integrar logaritmos via partes é a ferramenta padrão. Se quiser, dá para praticar com
e ver que sempre resulta em
após simplificar.