Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida abaixo:
Informações dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até .
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma uma potência de cosseno em soma de cossenos com ângulos múltiplos — isso facilita integrar termo a termo sem lidar com potências.
Uma identidade útil é a que vem da fórmula de cosseno de triplo ângulo:
Essa fórmula pode ser obtida usando fórmulas de soma de ângulos ou relações de potências; aqui vamos apenas usá‑la e isolá‑la para
.
Passo 3
Isolando
em
obtemos:
Essa identidade vale para qualquer ângulo
. Agora aplicamos com
.
Passo 4
Substituindo
na identidade, obtemos a expressão do integrando:
Portanto a integral fica
Passo 5
Agora calculamos as integrais de cosseno básicas. Lembre que uma primitiva de
em relação a
é
. Assim, para constantes inteiras
,
Como
para todo inteiro
, segue que
Passo 6
Aplicando isso aos nossos termos: tanto
quanto
são inteiros não nulos, logo
Substituindo na decomposição do Passo 4, a integral total é soma de zeros.
Passo 7
Conclusão intermediária: a integral original é igual a zero.
Resposta
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