Calcule as integrais:
\int_{-\pi}^{\pi} \cos ^{3}(2 \tau) d \tau

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida abaixo:
\int_{-\pi}^{\pi} \cos^{3}\bigl(2\tau\bigr)\,d\tau.
Informações dadas:
  • O integrando é \cos^{3}\bigl(2\tau\bigr).
  • O intervalo de integração é de -\pi até \pi.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma uma potência de cosseno em soma de cossenos com ângulos múltiplos — isso facilita integrar termo a termo sem lidar com potências.
Uma identidade útil é a que vem da fórmula de cosseno de triplo ângulo:
\cos(3x) = 4\cos^{3}x - 3\cos x.
Essa fórmula pode ser obtida usando fórmulas de soma de ângulos ou relações de potências; aqui vamos apenas usá‑la e isolá‑la para \cos^{3}x.

Passo 3

Isolando \cos^{3}x em \cos(3x) = 4\cos^{3}x - 3\cos x obtemos:
\cos^{3}x = \frac{1}{4}\bigl(\cos(3x) + 3\cos x\bigr).
Essa identidade vale para qualquer ângulo x. Agora aplicamos com x = 2\tau.

Passo 4

Substituindo x=2\tau na identidade, obtemos a expressão do integrando:
\cos^{3}\bigl(2\tau\bigr) = \frac{1}{4}\Bigl(\cos\bigl(6\tau\bigr) + 3\cos\bigl(2\tau\bigr)\Bigr).
Portanto a integral fica
\int_{-\pi}^{\pi} \cos^{3}\bigl(2\tau\bigr)\,d\tau = \frac{1}{4}\int_{-\pi}^{\pi} \cos\bigl(6\tau\bigr)\,d\tau + \frac{3}{4}\int_{-\pi}^{\pi} \cos\bigl(2\tau\bigr)\,d\tau.

Passo 5

Agora calculamos as integrais de cosseno básicas. Lembre que uma primitiva de \cos(k\tau) em relação a \tau é \dfrac{1}{k}\sin(k\tau). Assim, para constantes inteiras k\neq0,
\int_{-\pi}^{\pi} \cos(k\tau)\,d\tau = \left[\frac{1}{k}\sin(k\tau)\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{k}\bigl(\sin(k\pi)-\sin(-k\pi)\bigr).
Como \sin(k\pi)=0 para todo inteiro k, segue que
\int_{-\pi}^{\pi} \cos(k\tau)\,d\tau = 0 \quad\text{para todo inteiro } k\neq 0.

Passo 6

Aplicando isso aos nossos termos: tanto k=6 quanto k=2 são inteiros não nulos, logo
\int_{-\pi}^{\pi} \cos\bigl(6\tau\bigr)\,d\tau = 0 \quad\text{e}\quad \int_{-\pi}^{\pi} \cos\bigl(2\tau\bigr)\,d\tau = 0.
Substituindo na decomposição do Passo 4, a integral total é soma de zeros.

Passo 7

Conclusão intermediária: a integral original é igual a zero.

Resposta

0

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