Calcule as integrais
\int \frac{6 x+7}{(x+2)^{2}} d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
\int \frac{6x+7}{(x+2)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é manipular a fração para depois aplicar integrais básicas de potências e logaritmos. Uma forma simples é fazer a substituição
u = x+2,
pois o denominador fica u^2.

Passo 2

Fazendo u = x+2 temos
du = dx \quad\text{e}\quad x = u - 2.
Então o numerador 6x+7 vira
6x+7 = 6(u-2) + 7 = 6u - 12 + 7 = 6u - 5.
Logo a integral transforma-se em
\int \frac{6x+7}{(x+2)^{2}}\,dx = \int \frac{6u - 5}{u^{2}}\,du.

Passo 3

Agora separamos a fração em potências de u:
\frac{6u - 5}{u^{2}} = 6\,\frac{u}{u^{2}} \;-\; 5\,\frac{1}{u^{2}} = 6\,u^{-1} \;-\; 5\,u^{-2}.
Portanto
\int \frac{6u - 5}{u^{2}}\,du = \int \bigl(6\,u^{-1} - 5\,u^{-2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo usando \displaystyle \int u^{-1}du = \ln|u| e \displaystyle \int u^{-2}du = -u^{-1}:
\int 6\,u^{-1}du = 6\ln|u|, \qquad \int (-5)\,u^{-2}du = -5\bigl(-u^{-1}\bigr) = 5\,u^{-1}.
Somando e incluindo a constante C,
\int \bigl(6\,u^{-1} - 5\,u^{-2}\bigr)\,du = 6\ln|u| + 5\,u^{-1} + C.

Resposta

Substituindo u = x+2 de volta, obtemos
\boxed{6\ln\bigl|x+2\bigr| \;+\; \frac{5}{x+2} \;+\; C.}

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