Calcule as integrais:
\int_{\gamma} \frac{1}{z\left(z^{2}+1\right)} d z onde \gamma é a elipse x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1 percorrida uma vez no sentido positivo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa
\int_{\gamma}\frac{1}{z\left(z^{2}+1\right)}\,dz,
onde \gamma é a elipse dada por
x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1
percorrida uma vez no sentido positivo (orientação anti-horária). Informações importantes dadas:
  • A curva \gamma é uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal a=1 e semi-eixo vertical b=2.
  • A integranda é a função racional \dfrac{1}{z(z^{2}+1)}, que tem pontos onde o denominador se anula (singularidades): potenciais pontos a verificar são z=0, z=i e z=-i.
  • A orientação é positiva (sentido anti-horário), o que afeta o sinal na aplicação do teorema dos resíduos.

Passo 2

Escolha do método e lembrando a ferramenta que vamos usar (breve explicação didática).
A maneira mais direta para integrar funções racionais meromorfas em contornos fechados que envolvem polos isolados é o Teorema dos Resíduos. Vou explicar o que ele diz e como usá-lo.
O Teorema dos Resíduos (forma prática que usaremos) afirma:
\int_{\gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}(f; z_{k}),
onde a soma é sobre todos os polos z_{k} de f que estão dentro da curva fechada \gamma orientada positivamente, e \operatorname{Res}(f; z_{k}) é o resíduo de f em z_{k}.
O que é resíduo (para polos simples, que são os mais comuns e fáceis de calcular)? Se z_{0} é um polo simples de f, então
\operatorname{Res}(f; z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z).
Essa fórmula vem da expansão em série de Laurent, mas na prática basta aplicar esse limite.
Plano de ação:
  1. Identificar quais polos estão estritamente dentro da elipse \gamma.
  2. Calcular os resíduos em cada polo interno (usando a fórmula acima, já que aqui são polos simples).
  3. Somar os resíduos e multiplicar por 2\pi i para obter a integral.

Passo 3

Determinar quais polos estão dentro da elipse.
  • Para z=0 (ponto (x,y)=(0,0)), testar na equação da elipse:
0^{2}+\frac{0^{2}}{4}=0<1,
logo z=0 está dentro de \gamma.
  • Para z=i (ponto (x,y)=(0,1)), testar:
0^{2}+\frac{1^{2}}{4}=\frac{1}{4}<1,
logo z=i está dentro de \gamma. Note que peguei este valor da coordenada imaginária do ponto i.
  • Para z=-i (ponto (x,y)=(0,-1)), testar:
0^{2}+\frac{(-1)^{2}}{4}=\frac{1}{4}<1,
logo z=-i também está dentro de \gamma.
Conclusão: todos os três polos z=0, z=i e z=-i estão estritamente dentro da elipse.

Passo 4

Cálculo dos resíduos em cada polo (passo a passo, método para polo simples).
A função é
f(z)=\frac{1}{z(z^{2}+1)}=\frac{1}{z(z-i)(z+i)}.
Todos os três polos são simples (cada fator aparece apenas uma vez).
Residuo em z=0:
\operatorname{Res}(f;0)=\lim_{z\to0} z\cdot \frac{1}{z(z^{2}+1)}=\lim_{z\to0}\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{0^{2}+1}=1.
Expliquei: multiplica-se por (z-0)=z e avalia no ponto.
Residuo em z=i:
\operatorname{Res}(f;i)=\lim_{z\to i}(z-i)\cdot\frac{1}{z(z-i)(z+i)}=\lim_{z\to i}\frac{1}{z(z+i)}=\frac{1}{i\,(i+i)}.
Agora calcular i\,(i+i)=i\cdot 2i=2i^{2}=2(-1)=-2. Portanto
\operatorname{Res}(f;i)=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}.
Residuo em z=-i:
\operatorname{Res}(f;-i)=\lim_{z\to -i}(z+ i)\cdot\frac{1}{z(z-i)(z+i)}=\lim_{z\to -i}\frac{1}{z(z-i)}=\frac{1}{(-i)((-i)-i)}.
Calcular (-i)-i=-2i. Então (-i)\cdot(-2i)=2i^{2}=2(-1)=-2. Assim
\operatorname{Res}(f;-i)=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}.
Resumo dos resíduos:
\operatorname{Res}(f;0)=1,\qquad \operatorname{Res}(f;i)=-\tfrac{1}{2},\qquad \operatorname{Res}(f;-i)=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos: a integral é 2\pi i vezes a soma dos resíduos internos.
Somando os resíduos:
1+(-\tfrac{1}{2})+(-\tfrac{1}{2})=1-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0.
Portanto
\int_{\gamma}\frac{1}{z(z^{2}+1)}\,dz = 2\pi i \cdot 0 = 0.
Observação final: a orientação positiva da curva implica o fator +2\pi i no teorema dos resíduos, que foi usado acima. O resultado zero surge porque os resíduos se cancelam entre si.

Resposta

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