Calcule as integrais:
onde
é a elipse
percorrida uma vez no sentido positivo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa
onde
é a elipse dada por
percorrida uma vez no sentido positivo (orientação anti-horária). Informações importantes dadas:
- A curva
é uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal e semi-eixo vertical . - A integranda é a função racional
, que tem pontos onde o denominador se anula (singularidades): potenciais pontos a verificar são , e . - A orientação é positiva (sentido anti-horário), o que afeta o sinal na aplicação do teorema dos resíduos.
Passo 2
Escolha do método e lembrando a ferramenta que vamos usar (breve explicação didática).
A maneira mais direta para integrar funções racionais meromorfas em contornos fechados que envolvem polos isolados é o Teorema dos Resíduos. Vou explicar o que ele diz e como usá-lo.
A maneira mais direta para integrar funções racionais meromorfas em contornos fechados que envolvem polos isolados é o Teorema dos Resíduos. Vou explicar o que ele diz e como usá-lo.
O Teorema dos Resíduos (forma prática que usaremos) afirma:
onde a soma é sobre todos os polos
de
que estão dentro da curva fechada
orientada positivamente, e
é o resíduo de
em
.
O que é resíduo (para polos simples, que são os mais comuns e fáceis de calcular)? Se
é um polo simples de
, então
Essa fórmula vem da expansão em série de Laurent, mas na prática basta aplicar esse limite.
Plano de ação:
- Identificar quais polos estão estritamente dentro da elipse
. - Calcular os resíduos em cada polo interno (usando a fórmula acima, já que aqui são polos simples).
- Somar os resíduos e multiplicar por
para obter a integral.
Passo 3
Determinar quais polos estão dentro da elipse.
- Para
(ponto ), testar na equação da elipse:
logo
está dentro de
.
- Para
(ponto ), testar:
logo
está dentro de
. Note que peguei este valor da coordenada imaginária do ponto
.
- Para
(ponto ), testar:
logo
também está dentro de
.
Conclusão: todos os três polos
,
e
estão estritamente dentro da elipse.
Passo 4
Cálculo dos resíduos em cada polo (passo a passo, método para polo simples).
A função é
Todos os três polos são simples (cada fator aparece apenas uma vez).
Residuo em
:
Expliquei: multiplica-se por
e avalia no ponto.
Residuo em
:
Agora calcular
. Portanto
Residuo em
:
Calcular
. Então
. Assim
Resumo dos resíduos:
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos: a integral é
vezes a soma dos resíduos internos.
Somando os resíduos:
Portanto
Observação final: a orientação positiva da curva implica o fator
no teorema dos resíduos, que foi usado acima. O resultado zero surge porque os resíduos se cancelam entre si.