Calcule as integrais:
\int_{\gamma} \frac{1}{z} d z, onde \gamma(t)=e^{i t}, 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\int_{\gamma}\frac{1}{z}\,dz,
onde a curva \gamma é dada por \gamma(t)=e^{i t} para 0 \le t \le 2\pi.
Informações fornecidas:
  • A função integranda é f(z)=\dfrac{1}{z}.
  • A curva é o círculo unitário percorrido uma volta completa no sentido anti-horário (porque \gamma(t)=e^{it} com t indo de 0 a 2\pi).
  • O intervalo do parâmetro é t\in[0,2\pi].
O que é pedido:
  • Avaliar a integral de linha complexa \int_{\gamma}\dfrac{1}{z}\,dz.

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (passo a passo bem mastigado):
  • Para integrar uma função complexa f(z) ao longo de uma curva parametrizada por \gamma(t), usa-se a fórmula de parametrização:
\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f\big(\gamma(t)\big)\,\gamma'(t)\,dt,
onde t varia de a até b, \gamma'(t) é a derivada da parametrização em relação a t, e f(\gamma(t)) é apenas a função avaliada no ponto da curva.
  • Aqui a=0 e b=2\pi. Vou aplicar diretamente essa fórmula: primeiro substituo z=\gamma(t) em f, depois calculo \gamma'(t) e monto a integral real em t.

Passo 3

Aplicando a parametrização ao nosso caso:
  • Temos \gamma(t)=e^{i t}. Então
\gamma'(t)=\frac{d}{dt}e^{i t}=i e^{i t},
porque a derivada de e^{i t} em relação a t é i e^{i t} (mesmo que em cálculo real, aqui i é constante imaginária).
  • Avaliando a função na parametrização:
f\big(\gamma(t)\big)=\frac{1}{\gamma(t)}=\frac{1}{e^{i t}}=e^{-i t}.

Passo 4

Formar a integral em t e simplificar passo a passo:
  • Pela fórmula de parametrização,
\int_{\gamma}\frac{1}{z}\,dz = \int_{0}^{2\pi} e^{-i t}\cdot \big(i e^{i t}\big)\,dt.
  • Simplificando o integrando: e^{-i t}\cdot e^{i t}=e^{0}=1. Logo o produto fica simplesmente i. Assim
\int_{\gamma}\frac{1}{z}\,dz = \int_{0}^{2\pi} i\,dt.

Passo 5

Avaliar a integral real restante (último cálculo direto):
  • Integrando i em t de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi} i\,dt = i\int_{0}^{2\pi} dt = i\big[t\big]_{0}^{2\pi} = i(2\pi-0)=2\pi i.
  • Observação conceitual rápida e útil para a prova: outra maneira de ver esse resultado é por argumentos de topologia/teorema dos resíduos — a função 1/z tem um polo simples em z=0 e a curva dá uma volta inteira ao redor de 0, o que também conduz ao mesmo valor 2\pi i. Se a curva fizesse n voltas, o resultado seria 2\pi i n.

Resposta

\,2\pi i\,

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