Calcule as integrais:
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde a curva
é dada por
para
.
Informações fornecidas:
- A função integranda é
. - A curva é o círculo unitário percorrido uma volta completa no sentido anti-horário (porque
com indo de a ). - O intervalo do parâmetro é
.
O que é pedido:
- Avaliar a integral de linha complexa
.
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (passo a passo bem mastigado):
- Para integrar uma função complexa
ao longo de uma curva parametrizada por , usa-se a fórmula de parametrização:
onde
varia de
até
,
é a derivada da parametrização em relação a
, e
é apenas a função avaliada no ponto da curva.
- Aqui
e . Vou aplicar diretamente essa fórmula: primeiro substituo em , depois calculo e monto a integral real em .
Passo 3
Aplicando a parametrização ao nosso caso:
- Temos
. Então
porque a derivada de
em relação a
é
(mesmo que em cálculo real, aqui
é constante imaginária).
- Avaliando a função na parametrização:
Passo 4
Formar a integral em
e simplificar passo a passo:
- Pela fórmula de parametrização,
- Simplificando o integrando:
. Logo o produto fica simplesmente . Assim
Passo 5
Avaliar a integral real restante (último cálculo direto):
- Integrando
em de a :
- Observação conceitual rápida e útil para a prova: outra maneira de ver esse resultado é por argumentos de topologia/teorema dos resíduos — a função
tem um polo simples em e a curva dá uma volta inteira ao redor de , o que também conduz ao mesmo valor . Se a curva fizesse voltas, o resultado seria .