Calcule as integrais nos
\int_{1}^{4}\left[\frac{1}{t} \mathbf{i}+\frac{1}{5-t} \mathbf{j}+\frac{1}{2 t} \mathbf{k}\right] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral vetorial de t=1 a t=4 da função
\mathbf{F}(t)=\frac{1}{t}\,\mathbf{i}+\frac{1}{5-t}\,\mathbf{j}+\frac{1}{2t}\,\mathbf{k}.
Usaremos a linearidade da integral para integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Para a componente em \mathbf{i} temos
\int_{1}^{4}\frac{1}{t}\,dt.
Sabendo que
\int\frac{1}{t}\,dt=\ln\lvert t\rvert,
avaliamos de 1 a 4:
\Bigl[\ln\lvert t\rvert\Bigr]_{1}^{4}=\ln(4)-\ln(1)=\ln(4).

Passo 3

Para a componente em \mathbf{j} temos
\int_{1}^{4}\frac{1}{5-t}\,dt.
Como
\int\frac{1}{5-t}\,dt=-\ln\lvert 5-t\rvert,
avaliamos de 1 a 4:
\Bigl[-\ln\lvert 5-t\rvert\Bigr]_{1}^{4} =-\ln(5-4)-\bigl(-\ln(5-1)\bigr) =-\ln(1)+\ln(4) =\ln(4).

Passo 4

Para a componente em \mathbf{k} temos
\int_{1}^{4}\frac{1}{2t}\,dt =\frac{1}{2}\int_{1}^{4}\frac{1}{t}\,dt =\frac{1}{2}\Bigl[\ln\lvert t\rvert\Bigr]_{1}^{4} =\frac{1}{2}\bigl(\ln(4)-\ln(1)\bigr) =\tfrac{1}{2}\ln(4).

Resposta

\int_{1}^{4}\mathbf{F}(t)\,dt =\ln(4)\,\mathbf{i}+\ln(4)\,\mathbf{j}+\tfrac{1}{2}\ln(4)\,\mathbf{k}.

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