Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações que temos:
- A função a integrar é
. - Trata-se de uma integral indefinida, portanto a resposta será uma família de primitivas, isto é, uma função
tal que , mais uma constante . - Como
está definida para , o domínio natural aqui é . (Mais adiante digo como estender para .)
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): a integral de
não é simples de fazer por substituição direta porque não há um fator óbvio cuja derivada apareça multiplicando
. Um caminho clássico e direto é usar a fórmula de integração por partes, que reduz uma integral em que aparece um logaritmo a algo mais simples. Vou aplicar integração por partes, que é um método básico e muito usado em provas.
Passo 3
Lembrando a fórmula de integração por partes (e o que cada símbolo significa):
- A fórmula é
- Aqui
é uma função que escolhemos (para a qual é fácil calcular ), é o restante do integrando (para o qual podemos calcular ). As quantidades e são, respectivamente, a diferencial de e a primitiva de .
Passo 4
Escolha prática para este integrando:
- Tomamos
. Isso é conveniente porque a derivada de simplifica para . - Tomamos
. Assim será uma primitiva simples de .
Agora calculamose :
Aqui foi usada a regra básica de derivação: a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo as quantidades que encontramos:
Agora calculamos a integral restante:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (para ter certeza na hora da prova): derivar a resposta encontrada deve retornar o integrando original.
Calcule a derivada de :
Calcule a derivada de
Usando a regra do produto em
:
E
. Assim
o que confirma que a primitiva está correta.
Passo 7
Observações finais e dica de prova:
- Como mencionei, o resultado foi obtido para
. Se quiser a primitiva válida para (ambos sinais), basta substituir por no início; a primitiva geral é
válida para
.
- Dica prática: na prova, ao ver
multiplicando algo simples (ou sozinho), pense imediatamente em integração por partes com e o resto.