Calcule as integrais:
\int \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln(x)\,dx.
Informações que temos:
  • A função a integrar é \ln(x).
  • Trata-se de uma integral indefinida, portanto a resposta será uma família de primitivas, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\ln(x), mais uma constante C.
  • Como \ln(x) está definida para x>0, o domínio natural aqui é x>0. (Mais adiante digo como estender para x<0.)

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): a integral de \ln(x) não é simples de fazer por substituição direta porque não há um fator óbvio cuja derivada apareça multiplicando \ln(x). Um caminho clássico e direto é usar a fórmula de integração por partes, que reduz uma integral em que aparece um logaritmo a algo mais simples. Vou aplicar integração por partes, que é um método básico e muito usado em provas.

Passo 3

Lembrando a fórmula de integração por partes (e o que cada símbolo significa):
  • A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
  • Aqui u é uma função que escolhemos (para a qual é fácil calcular du), dv é o restante do integrando (para o qual podemos calcular v=\int dv). As quantidades du e v são, respectivamente, a diferencial de u e a primitiva de dv.

Passo 4

Escolha prática para este integrando:
  • Tomamos u=\ln(x). Isso é conveniente porque a derivada de \ln(x) simplifica para 1/x.
  • Tomamos dv = dx. Assim v será uma primitiva simples de 1.
    Agora calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)\,dx = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \int dv = \int dx = x.
Aqui foi usada a regra básica de derivação: a derivada de \ln(x) é \tfrac{1}{x}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \ln(x)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo as quantidades que encontramos:
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx.
Agora calculamos a integral restante:
\int 1\,dx = x.
Portanto
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza na hora da prova): derivar a resposta encontrada deve retornar o integrando original.
Calcule a derivada de F(x)=x\ln(x)-x:
F'(x)=\frac{d}{dx}\big(x\ln(x)\big)-\frac{d}{dx}(x).
Usando a regra do produto em \frac{d}{dx}\big(x\ln(x)\big):
\frac{d}{dx}\big(x\ln(x)\big)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}=\ln(x)+1.
E \frac{d}{dx}(x)=1. Assim
F'(x)=(\ln(x)+1)-1=\ln(x),
o que confirma que a primitiva está correta.

Passo 7

Observações finais e dica de prova:
  • Como mencionei, o resultado foi obtido para x>0. Se quiser a primitiva válida para x\neq0 (ambos sinais), basta substituir \ln(x) por \ln|x| no início; a primitiva geral é
x\ln|x|-x+C,
válida para x\neq0.
  • Dica prática: na prova, ao ver \ln(\cdot) multiplicando algo simples (ou sozinho), pense imediatamente em integração por partes com u=\ln(\cdot) e dv o resto.

Resposta

x\ln(x)-x+C

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