Determine se a Serie Converge an náo e diga qual
\sum_{n \geqslant 2} \frac{1}{n \ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n\geqslant 2} \frac{1}{n\ln(n)}
converge ou diverge. A informação dada é apenas a expressão do termo geral a_n=\dfrac{1}{n\ln(n)} para n\ge2. O objetivo é decidir se a soma infinita dos a_n tem limite finito (converge) ou não (diverge).

Passo 2

Vou usar o Teste da Integral (um método muito comum e direto para séries com termos positivos que vêm de uma função contínua). Antes disso explico o que é o teste e por que ele se aplica aqui.
Enunciado do Teste da Integral (versão usada): se f(x) é positiva, contínua e decrescente em [N,\infty) e a_n=f(n), então a série \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx converge (é finita). Em palavras: a soma dos termos comporta-se como a área sob a curva.
Por que escolhi esse teste: a função natural associada é f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} definida para x>1. É uma escolha direta e o cálculo da integral é simples com substituição logarítmica.

Passo 3

Verificar as hipóteses do Teste da Integral para f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} em [2,\infty):
  • Positividade: para x\ge2 temos \ln x>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: f é contínua em [2,\infty) (não há singularidade ali porque \ln x\neq0 para x\ge2).
  • Monotonicidade decrescente: calcule a derivada para ver que f decresce. f(x)=\frac{1}{x\ln x}.Derivando (usar produto/quotiente): f'(x) = -\frac{\ln x + 1}{x^{2}(\ln x)^{2}}.Para x\ge2 tem-se \ln x>0 e \ln x+1>0, logo f'(x)<0. Portanto f é decrescente em [2,\infty).
Assim todas as hipóteses do teste estão satisfeitas e podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Calcular a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,dx.
Fazer a substituição \displaystyle u=\ln x. Então \displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx, o que transforma a integral assim:
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,dx = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u}\,du.
Agora integramos:
\int_{\ln 2}^{R} \frac{1}{u}\,du = \bigl[\ln u\bigr]_{u=\ln 2}^{u=R} = \ln R - \ln(\ln 2),
onde escrevi R=\ln x como limite superior temporário; ao voltar à variável original isso corresponde a avaliar \ln(\ln x) de x=2 até x\to\infty. Tomando R\to\infty (ou seja x\to\infty) obtém-se
\lim_{R\to\infty} \bigl(\ln R - \ln(\ln 2)\bigr) = \infty.
Portanto a integral diverge (é infinita).

Passo 5

Pelo Teste da Integral, como a integral diverge, a série correspondente também diverge. Conclusão direta: a série \displaystyle\sum_{n\ge2}\frac{1}{n\ln n} é divergente.

Passo 6

Para reforçar a intuição: esta série é um caso-limite parecido com a série harmônica \sum 1/n. Existe também um critério mais específico: séries do tipo \sum \dfrac{1}{n(\ln n)^{p}} convergem se, e somente se, p>1. No nosso caso p=1, portanto diverge. (Isto é conhecido como teste de Bertrand / critério de p-log.)

Passo 7

Como alternativa curta (útil em provas rápidas), pode-se usar o Critério de Condensação de Cauchy: para a_n=\dfrac{1}{n\ln n} decrescente e positivo,
\sum_{n=2}^{\infty} a_n \text{ converge } \iff \sum_{k=1}^{\infty} 2^{k}a_{2^{k}} \text{ converge}.
Aqui
2^{k}a_{2^{k}} = 2^{k}\cdot\frac{1}{2^{k}\ln(2^{k})}=\frac{1}{k\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{1}{k}.
Isso dá (constante) vezes a série harmônica \sum 1/k, que diverge; logo a série original diverge também. Este atalho é muito prático e rápido em provas.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n\geqslant 2}\frac{1}{n\ln(n)} diverge (é divergente).

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