Determine se a Serie Converge an náo e diga qual
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. A informação dada é apenas a expressão do termo geral
para
. O objetivo é decidir se a soma infinita dos
tem limite finito (converge) ou não (diverge).
Passo 2
Vou usar o Teste da Integral (um método muito comum e direto para séries com termos positivos que vêm de uma função contínua). Antes disso explico o que é o teste e por que ele se aplica aqui.
Enunciado do Teste da Integral (versão usada): se
é positiva, contínua e decrescente em
e
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge (é finita). Em palavras: a soma dos termos comporta-se como a área sob a curva.
Por que escolhi esse teste: a função natural associada é
definida para
. É uma escolha direta e o cálculo da integral é simples com substituição logarítmica.
Passo 3
Verificar as hipóteses do Teste da Integral para
em
:
- Positividade: para
temos , logo . - Continuidade:
é contínua em (não há singularidade ali porque para ). - Monotonicidade decrescente: calcule a derivada para ver que
decresce. Derivando (usar produto/quotiente): Para tem-se e , logo . Portanto é decrescente em .
Assim todas as hipóteses do teste estão satisfeitas e podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Calcular a integral imprópria
Fazer a substituição
. Então
, o que transforma a integral assim:
Agora integramos:
onde escrevi
como limite superior temporário; ao voltar à variável original isso corresponde a avaliar
de
até
. Tomando
(ou seja
) obtém-se
Portanto a integral diverge (é infinita).
Passo 5
Pelo Teste da Integral, como a integral diverge, a série correspondente também diverge. Conclusão direta: a série
é divergente.
Passo 6
Para reforçar a intuição: esta série é um caso-limite parecido com a série harmônica
. Existe também um critério mais específico: séries do tipo
convergem se, e somente se,
. No nosso caso
, portanto diverge. (Isto é conhecido como teste de Bertrand / critério de p-log.)
Passo 7
Como alternativa curta (útil em provas rápidas), pode-se usar o Critério de Condensação de Cauchy: para
decrescente e positivo,
Aqui
Isso dá (constante) vezes a série harmônica
, que diverge; logo a série original diverge também. Este atalho é muito prático e rápido em provas.
Resposta
A série
diverge (é divergente).