Encontre a soma de \sum_{N=0}^{\infty} e^{-2 m}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita \sum_{N=0}^{\infty} e^{-2 m}. Vou interpretar essa soma de forma consistente trocando o índice para m; ou seja, calcular
\sum_{m=0}^{\infty} e^{-2m}.
Informações dadas que vou usar:
  • Cada termo é e^{-2m} para m=0,1,2,\dots.
  • Não há outros parâmetros; a série é infinita e começa em m=0.

Passo 2

Entendendo o tipo de série: esta é uma série geométrica. Vou explicar o que é isso e a fórmula que usamos.
Definição e fórmula da série geométrica finita:
  • Uma progressão geométrica tem primeiro termo a e razão r; os termos são a,\;ar,\;ar^2,\;\dots.
  • A soma dos primeiros n+1 termos (índices de 0 a n) é
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n.
  • Há uma identidade muito útil (obtida multiplicando por r e subtraindo) que dá
S_n = a\frac{1-r^{\,n+1}}{1-r},\qquad\text{para } r\neq 1.
Derivação rápida dessa identidade:
S_n = a(1+r+r^2+\cdots+r^n).
Multiplicando por r:
rS_n = a(r+r^2+\cdots+r^{n+1}).
Subtraindo as duas equações:
S_n - rS_n = a(1 - r^{\,n+1}) \quad\Rightarrow\quad S_n(1-r)=a(1-r^{\,n+1}),
portanto
S_n = a\frac{1-r^{\,n+1}}{1-r}.
Convergência da série infinita:
  • Tomando n\to\infty, se |r|<1 então r^{\,n+1}\to 0 e a soma infinita converge para
\sum_{m=0}^{\infty} ar^{m} = \frac{a}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, a série diverge.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
  • Identifico o primeiro termo a e a razão r.
    • Primeiro termo: a = e^{-2\cdot 0} = 1.
    • Razão: r = e^{-2} porque cada passo multiplica por e^{-2}.
  • Verifico a condição de convergência: como e>1 temos e^{-2} no intervalo (0,1), logo |r|=e^{-2}<1. Portanto a série converge.

Passo 4

Calculo da soma usando a fórmula:
\sum_{m=0}^{\infty} e^{-2m} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-e^{-2}}.
Podemos reescrever de forma equivalente multiplicando numerador e denominador por e^{2}:
\frac{1}{1-e^{-2}} = \frac{e^{2}}{e^{2}-1}.
Para intuição numérica (sem precisar de calculadora exata): e^{2}\approx 7{,}389, então a soma fica aproximadamente 1{,}1565.

Passo 5

Dica rápida para prova (o truque que salva tempo):
  • Ao ver termos do tipo a\cdot r^{m} com m=0,1,2,\dots, reconheça série geométrica.
  • Identifique a (termo m=0) e r (razão entre termos consecutivos).
  • Verifique |r|<1. Se sim, aplique \dfrac{a}{1-r}. Simples e direto!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2}}=\frac{e^{2}}{e^{2}-1}

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