Encontre a soma de
Passo 1
O enunciado pede a soma da série infinita
. Vou interpretar essa soma de forma consistente trocando o índice para
; ou seja, calcular
Informações dadas que vou usar:
- Cada termo é
para . - Não há outros parâmetros; a série é infinita e começa em
.
Passo 2
Entendendo o tipo de série: esta é uma série geométrica. Vou explicar o que é isso e a fórmula que usamos.
Definição e fórmula da série geométrica finita:
- Uma progressão geométrica tem primeiro termo
e razão ; os termos são . - A soma dos primeiros
termos (índices de a ) é
- Há uma identidade muito útil (obtida multiplicando por
e subtraindo) que dá
Derivação rápida dessa identidade:
Multiplicando por
:
Subtraindo as duas equações:
portanto
Convergência da série infinita:
- Tomando
, se então e a soma infinita converge para
- Se
, a série diverge.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
- Identifico o primeiro termo
e a razão . - Primeiro termo:
. - Razão:
porque cada passo multiplica por .
- Primeiro termo:
- Verifico a condição de convergência: como
temos no intervalo , logo . Portanto a série converge.
Passo 4
Calculo da soma usando a fórmula:
Podemos reescrever de forma equivalente multiplicando numerador e denominador por
:
Para intuição numérica (sem precisar de calculadora exata):
, então a soma fica aproximadamente
.
Passo 5
Dica rápida para prova (o truque que salva tempo):
- Ao ver termos do tipo
com , reconheça série geométrica. - Identifique
(termo ) e (razão entre termos consecutivos). - Verifique
. Se sim, aplique . Simples e direto!