Calcule as integrais:
\int \operatorname{sec} 2 t \operatorname{tg} 2 t^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \operatorname{sec}(2t)\,\tan^{2}(2t)\,dt.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sec}(2t)\tan^{2}(2t).
  • A variável de integração é t.
  • Espera-se uma antiderivada (mais a constante de integração).

Passo 2

Uma identidade trigonométrica muito útil é
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1,
que vem de \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 dividindo por \cos^{2}x. Vou usar essa identidade para simplificar a integral. Aplicando-a em x=2t obtemos
\tan^{2}(2t)=\operatorname{sec}^{2}(2t)-1.
Substituindo na integral:
\int \operatorname{sec}(2t)\,\tan^{2}(2t)\,dt =\int \operatorname{sec}(2t)\big(\operatorname{sec}^{2}(2t)-1\big)\,dt =\int \big(\operatorname{sec}^{3}(2t)-\operatorname{sec}(2t)\big)\,dt.

Passo 3

Para simplificar os fatores constantes, faço a substituição linear
u=2t \quad\Rightarrow\quad du=2\,dt \quad\Rightarrow\quad dt=\frac{du}{2}.
Assim
\int \big(\operatorname{sec}^{3}(2t)-\operatorname{sec}(2t)\big)\,dt =\frac{1}{2}\int \big(\operatorname{sec}^{3}u-\operatorname{sec} u\big)\,du.
Agora preciso das primitivas de \operatorname{sec} u e \operatorname{sec}^{3}u.
Primeiro, a primitiva de \operatorname{sec} u. Usa-se o truque de multiplicar por \dfrac{\operatorname{sec} u+\tan u}{\operatorname{sec} u+\tan u}:
\int \operatorname{sec} u\,du =\int \frac{\operatorname{sec} u(\operatorname{sec} u+\tan u)}{\operatorname{sec} u+\tan u}\,du.
Fazendo a substituição v=\operatorname{sec} u+\tan u (observe que dv=(\operatorname{sec} u\tan u+\operatorname{sec}^{2}u)\,du=\operatorname{sec} u(\tan u+\operatorname{sec} u)\,du), conclui-se
\int \operatorname{sec} u\,du=\ln\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|+C.
Agora, a primitiva de \operatorname{sec}^{3}u. Uso integração por partes. Escrevo
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\int \operatorname{sec} u\cdot\operatorname{sec}^{2}u\,du.
Escolho a=\operatorname{sec} u e db=\operatorname{sec}^{2}u\,du. Então da=\operatorname{sec} u\tan u\,du e b=\tan u. Pela fórmula de integração por partes,
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\operatorname{sec} u\tan u-\int \tan u\cdot\operatorname{sec} u\tan u\,du.
O integrando do segundo termo é \operatorname{sec} u\tan^{2}u. Usando \tan^{2}u=\operatorname{sec}^{2}u-1,
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\operatorname{sec} u\tan u-\int \operatorname{sec} u(\operatorname{sec}^{2}u-1)\,du =\operatorname{sec} u\tan u-\int \operatorname{sec}^{3}u\,du+\int \operatorname{sec} u\,du.
Reagrupando os termos que contêm \int \operatorname{sec}^{3}u\,du:
2\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\operatorname{sec} u\tan u+\int \operatorname{sec} u\,du.
Portanto
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\frac{1}{2}\operatorname{sec} u\tan u+\frac{1}{2}\int \operatorname{sec} u\,du.
Substituindo a primitiva de \operatorname{sec} u já encontrada:
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\frac{1}{2}\operatorname{sec} u\tan u+\frac{1}{2}\ln\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|+C.

Passo 4

Volto à integral original em u:
\frac{1}{2}\int \big(\operatorname{sec}^{3}u-\operatorname{sec} u\big)\,du =\frac{1}{2}\left[\int \operatorname{sec}^{3}u\,du-\int \operatorname{sec} u\,du\right].
Substituindo as fórmulas obtidas:
\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{2}\operatorname{sec} u\tan u+\frac{1}{2}\ln\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|\right) -\ln\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|\right]+C.
Agrupando os termos com \ln:
\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\operatorname{sec} u\tan u -\frac{1}{2}\ln\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|\right]+C =\frac{1}{4}\operatorname{sec} u\tan u-\frac{1}{4}\ln\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|+C.
Agora retorno à variável t usando u=2t:
\int \operatorname{sec}(2t)\tan^{2}(2t)\,dt =\frac{1}{4}\operatorname{sec}(2t)\tan(2t)-\frac{1}{4}\ln\big|\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\big|+C.

Passo 5

Checagem rápida (ideia): diferenciando a expressão encontrada deve-se recuperar \operatorname{sec}(2t)\tan^{2}(2t). A diferenciação envolve a regra da cadeia e as derivadas \dfrac{d}{dt}\operatorname{sec}(2t)=2\operatorname{sec}(2t)\tan(2t) e \dfrac{d}{dt}\tan(2t)=2\operatorname{sec}^{2}(2t); ao realizar a conta os termos se combinam e retornam o integrando original (deixo os passos algébricos detalhados como exercício de verificação).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\operatorname{sec}(2t)\tan(2t)-\frac{1}{4}\ln\big|\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\big|+C

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