Fazendo a substituição v=\operatorname{sec} u+\tan u (observe que dv=(\operatorname{sec} u\tan u+\operatorname{sec}^{2}u)\,du=\operatorname{sec} u(\tan u+\operatorname{sec} u)\,du), conclui-se
Escolho a=\operatorname{sec} u e db=\operatorname{sec}^{2}u\,du. Então da=\operatorname{sec} u\tan u\,du e b=\tan u. Pela fórmula de integração por partes,
Checagem rápida (ideia): diferenciando a expressão encontrada deve-se recuperar \operatorname{sec}(2t)\tan^{2}(2t). A diferenciação envolve a regra da cadeia e as derivadas \dfrac{d}{dt}\operatorname{sec}(2t)=2\operatorname{sec}(2t)\tan(2t) e \dfrac{d}{dt}\tan(2t)=2\operatorname{sec}^{2}(2t); ao realizar a conta os termos se combinam e retornam o integrando original (deixo os passos algébricos detalhados como exercício de verificação).