Calcule as integrais:
43. \int e^{x} \operatorname{sen} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int e^{x}\,\sin\!\left(e^{x}\right)\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é e^{x}\sin\!\left(e^{x}\right).
  • É uma integral indefinida: o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre a estrutura do integrando (por que isso é útil):
  • Note que a função dentro do seno é e^{x}.
  • A derivada de e^{x} em relação a x é justamente e^{x}.
    Isto sugere uma mudança de variável que torne a integral mais simples: se definirmos uma nova variável igual àquela expressão interna, a parte e^{x}\,dx deverá desaparecer e transformará a integral numa integral elementar em termos da nova variável.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina
u = e^{x}.
Agora calcule du. Como u=e^{x}, tem-se
\frac{du}{dx}=e^{x}\quad\Rightarrow\quad du=e^{x}\,dx.
Portanto o diferencial e^{x}\,dx no integrando é exatamente du. Substituindo na integral:
\int e^{x}\,\sin\!\left(e^{x}\right)\,dx = \int \sin(u)\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u. Sabemos que a derivada de \cos(u) é -\sin(u), logo a primitiva de \sin(u) é -\cos(u). Assim,
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar para a variável original x substituindo u=e^{x}:
-\cos(u)+C = -\cos\!\left(e^{x}\right) + C.
Esse é o resultado da integral em termos de x.

Passo 6

Verificação rápida (checar diferenciando o resultado):
Diferenciando -\cos\!\left(e^{x}\right) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[-\cos\!\left(e^{x}\right)\bigr] = -\bigl(-\sin\!\left(e^{x}\right)\bigr)\cdot e^{x} = e^{x}\sin\!\left(e^{x}\right),
que coincide com o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Passo 7

Dica de prova / padrão para guardar: sempre que vir algo do tipo f'(x)\,g(f(x)) (aqui f(x)=e^{x}, f'(x)=e^{x}, g=\sin), é um sinal claro de que a substituição u=f(x) vai simplificar a integral para \int g(u)\,du. Exemplo semelhante: \displaystyle \int e^{x}\cos\!\left(e^{x}\right)\,dx = \sin\!\left(e^{x}\right)+C.

Resposta

-\cos\!\left(e^{x}\right)+C

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