Calcule as integrais:
43.
43.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - É uma integral indefinida: o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre a estrutura do integrando (por que isso é útil):
- Note que a função dentro do seno é
. - A derivada de
em relação a é justamente .
Isto sugere uma mudança de variável que torne a integral mais simples: se definirmos uma nova variável igual àquela expressão interna, a partedeverá desaparecer e transformará a integral numa integral elementar em termos da nova variável.
Passo 3
Fazer a substituição. Defina
Agora calcule
. Como
, tem-se
Portanto o diferencial
no integrando é exatamente
. Substituindo na integral:
Passo 4
Calcular a integral em
. Sabemos que a derivada de
é
, logo a primitiva de
é
. Assim,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar para a variável original
substituindo
:
Esse é o resultado da integral em termos de
.
Passo 6
Verificação rápida (checar diferenciando o resultado):
Diferenciando usando a regra da cadeia:
Diferenciando
que coincide com o integrando original. Logo a primitiva está correta.
Passo 7
Dica de prova / padrão para guardar: sempre que vir algo do tipo
(aqui
,
,
), é um sinal claro de que a substituição
vai simplificar a integral para
. Exemplo semelhante:
.