Calcule as integrais:
\int \operatorname{tg}^{3} x \cdot \operatorname{sec} ^{5} x \cdot d x

Passo 1

Beleza, a gente quer calcular a integral
\int \tan^3 x \,\operatorname{sec}^5 x \,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando identidades e substituição. Vamos usar a identidade
\tan^2 x = \operatorname{sec}^2 x - 1
e depois a substituição
u = \operatorname{sec} x,\quad du = \operatorname{sec} x\,\tan x\,dx.

Passo 2

Primeiro, separamos um fator de \tan x e aplicamos a identidade:
\int \tan^3 x \,\operatorname{sec}^5 x \,dx = \int \tan x\;\tan^2 x\;\operatorname{sec}^5 x \,dx = \int \tan x\;(\operatorname{sec}^2 x - 1)\;\operatorname{sec}^5 x \,dx = \int \bigl(\tan x\,\operatorname{sec}^7 x - \tan x\,\operatorname{sec}^5 x\bigr)\,dx.

Passo 3

Repare que
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\,\tan x,
então quando aparecer \operatorname{sec} x\tan x\,dx a gente pode substituir por du. Especificamente:
\tan x\,\operatorname{sec}^7 x\,dx = \operatorname{sec}^6 x\;(\operatorname{sec} x\tan x\,dx), \quad \tan x\,\operatorname{sec}^5 x\,dx = \operatorname{sec}^4 x\;(\operatorname{sec} x\tan x\,dx).

Passo 4

Com u=\operatorname{sec} x e du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx, a integral vira
\int \bigl(\operatorname{sec}^6 x - \operatorname{sec}^4 x\bigr)\,(\operatorname{sec} x\tan x\,dx) = \int (u^6 - u^4)\,du.

Passo 5

Agora é só integrar o polinômio em u:
\int (u^6 - u^4)\,du = \frac{u^7}{7} - \frac{u^5}{5} + C.

Passo 6

Voltando a x pela relação u=\operatorname{sec} x, obtemos
\frac{\operatorname{sec}^7 x}{7} - \frac{\operatorname{sec}^5 x}{5} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{\operatorname{sec}^7 x}{7} \;-\;\frac{\operatorname{sec}^5 x}{5}+C

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