Calcule as integrais:
\int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \operatorname{sec} ^{4}(t) \operatorname{tg}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{\pi/4}^{\pi/3} \operatorname{sec}^{4}(t)\,\tan(t)\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é \operatorname{sec}^{4}(t)\,\tan(t).
  • Os limites de integração são t=\pi/4 (inferior) e t=\pi/3 (superior).
    A tarefa é encontrar o valor numérico desta integral.

Passo 2

Observação sobre técnica útil: quando a integral contém uma função e também o produto da derivada dessa função, uma boa escolha é fazer a substituição u=g(t) onde g'(t)\,dt aparece no integrando. Aqui note que a derivada de \operatorname{sec} t é \operatorname{sec} t\tan t. Como o integrando tem um fator \operatorname{sec} t\tan t (embutido dentro de \operatorname{sec}^{4}t\,\tan t), isso sugere tomar
u=\operatorname{sec} t.

Passo 3

Calcular diferencial e rearranjar o integrando:
du=\operatorname{sec} t\tan t\,dt.
Escrevendo o integrando para separar esse fator:
\operatorname{sec}^{4}t\,\tan t = \operatorname{sec}^{3}t\cdot\big(\operatorname{sec} t\tan t\big).
Com a substituição u=\operatorname{sec} t temos \operatorname{sec}^{3}t=u^{3} e \operatorname{sec} t\tan t\,dt=du. Portanto, em termos de u o integrando vira u^{3}\,du.

Passo 4

Alterar também os limites de integração (substituição em integrais definidas evita precisar voltar a t depois):
  • Quando t=\pi/4: u=\operatorname{sec}\big(\pi/4\big)=\frac{1}{\cos(\pi/4)}=\frac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}.
  • Quando t=\pi/3: u=\operatorname{sec}\big(\pi/3\big)=\frac{1}{\cos(\pi/3)}=\frac{1}{1/2}=2.
Assim a integral transforma-se em
\int_{\pi/4}^{\pi/3}\operatorname{sec}^{4}t\,\tan t\,dt=\int_{\sqrt{2}}^{2} u^{3}\,du.

Passo 5

Integrar u^{3}:
\int u^{3}\,du=\frac{u^{4}}{4}.
Avaliar de u=\sqrt{2} até u=2:
\left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{\sqrt{2}}^{2}=\frac{2^{4}}{4}-\frac{(\sqrt{2})^{4}}{4}=\frac{16}{4}-\frac{4}{4}=4-1=3.

Resposta

3

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