Calcule a área da região delimitada pela elipse
e pelas retas
e
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela elipse
e pelas retas
e
, com
e
. Ou seja, a região é o “quadrante positivo” da elipse (a parte que fica no primeiro quadrante).
Informações dadas e úteis (extraídas do enunciado):
- A equação da elipse é
. - Cortando a elipse pelos eixos: colocando
obtém-se ; colocando obtém-se . - Portanto os semi-eixos da elipse são
(no eixo ) e (no eixo ). - A região pedida é a parte da elipse com
e limitada também por e .
Passo 2
Escolha do método: vou resolver por integração direta (calcular a função
e integrar em
de 0 a 4), porque isso mostra passo a passo como montar e avaliar a integral numa prova. Depois eu apresento um método alternativo e mais curto (usar a área da elipse inteira e aproveitar simetria).
Primeiro, isolamos
na equação da elipse para obter a função de limite superior em função de
. A equação é
Isolando
temos
Multiplicando por
e tomando raiz positiva (porque estamos no primeiro quadrante,
):
Passo 3
Montagem da integral da área: a área
do pedaço no primeiro quadrante é a integral da função
de
até
:
Explicando: aqui cada fatia vertical em
tem altura
e largura
; somando essas fatias de
a
obtemos a área.
Passo 4
Avaliar a integral por substituição trigonométrica conveniente. Note a expressão
: é natural usar a substituição
porque então
e
. Calcule também
e os limites:
-
. - Quando
temos . - Quando
temos .
Substituindo na integral:
No intervalo
temos
, então
. Assim
Passo 5
Calcular a integral de
. Use a identidade trigonométrica
Então
Integramos termo a termo:
Portanto
Passo 6
Método alternativo (curto, usado com frequência em prova): a área total de uma elipse com semi-eixos
e
é
Aqui
e
, então a área total é
. Como a elipse é simétrica em relação aos eixos coordenados, a parte no primeiro quadrante é exatamente um quarto da área total. Assim a área procurada é
confirmando o resultado obtido pela integração.