Calcule a área da região delimitada pela elipse \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1 e pelas retas y=0 e x=0, onde x \geq 0 e y \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela elipse \dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 e pelas retas y=0 e x=0, com x\ge 0 e y\ge 0. Ou seja, a região é o “quadrante positivo” da elipse (a parte que fica no primeiro quadrante).
Informações dadas e úteis (extraídas do enunciado):
  • A equação da elipse é \dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1.
  • Cortando a elipse pelos eixos: colocando y=0 obtém-se x=\pm 4; colocando x=0 obtém-se y=\pm 2.
  • Portanto os semi-eixos da elipse são a=4 (no eixo x) e b=2 (no eixo y).
  • A região pedida é a parte da elipse com x\in[0,4] e y\in[0,2] limitada também por x=0 e y=0.

Passo 2

Escolha do método: vou resolver por integração direta (calcular a função y(x) e integrar em x de 0 a 4), porque isso mostra passo a passo como montar e avaliar a integral numa prova. Depois eu apresento um método alternativo e mais curto (usar a área da elipse inteira e aproveitar simetria).
Primeiro, isolamos y na equação da elipse para obter a função de limite superior em função de x. A equação é
\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1.
Isolando \dfrac{y^{2}}{4} temos
\dfrac{y^{2}}{4}=1-\dfrac{x^{2}}{16}.
Multiplicando por 4 e tomando raiz positiva (porque estamos no primeiro quadrante, y\ge0):
y = 2\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{16}}.

Passo 3

Montagem da integral da área: a área A do pedaço no primeiro quadrante é a integral da função y(x) de x=0 até x=4:
A=\int_{0}^{4} y\,dx=\int_{0}^{4} 2\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{16}}\;dx.
Explicando: aqui cada fatia vertical em x tem altura y(x) e largura dx; somando essas fatias de 0 a 4 obtemos a área.

Passo 4

Avaliar a integral por substituição trigonométrica conveniente. Note a expressão \sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{16}}: é natural usar a substituição
x = 4\sin\theta,
porque então \dfrac{x}{4}=\sin\theta e 1-\dfrac{x^{2}}{16}=1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta. Calcule também dx e os limites:
  • dx=4\cos\theta\,d\theta.
  • Quando x=0 temos \sin\theta=0\Rightarrow \theta=0.
  • Quando x=4 temos \sin\theta=1\Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{2}.
Substituindo na integral:
A=\int_{0}^{4} 2\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{16}}\;dx = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} 2\sqrt{\cos^{2}\theta}\cdot(4\cos\theta\,d\theta).
No intervalo [0,\pi/2] temos \cos\theta\ge0, então \sqrt{\cos^{2}\theta}=\cos\theta. Assim
A=\int_{0}^{\pi/2} 2\cos\theta\cdot 4\cos\theta\,d\theta =8\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral de \cos^{2}\theta. Use a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}.
Então
A=8\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta =4\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1+\cos 2\theta\bigr)\,d\theta.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{\pi/2}1\,d\theta=\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2}=\dfrac{\pi}{2}, \qquad \int_{0}^{\pi/2}\cos 2\theta\,d\theta=\left[\dfrac{\sin 2\theta}{2}\right]_{0}^{\pi/2}=\dfrac{\sin \pi - \sin 0}{2}=0.
Portanto
A=4\left(\dfrac{\pi}{2}+0\right)=4\cdot\dfrac{\pi}{2}=2\pi.

Passo 6

Método alternativo (curto, usado com frequência em prova): a área total de uma elipse com semi-eixos a e b é
\text{Área total}=\pi a b.Á
Aqui a=4 e b=2, então a área total é \pi\cdot 4\cdot 2=8\pi. Como a elipse é simétrica em relação aos eixos coordenados, a parte no primeiro quadrante é exatamente um quarto da área total. Assim a área procurada é
\dfrac{1}{4}\cdot 8\pi=2\pi,
confirmando o resultado obtido pela integração.

Resposta

2\pi

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