Calcule a área da região delimitada pelas curvas:
y=\frac{1}{1+\sqrt[3]{x}}, x=0, x=1 e o eixo x

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\dfrac{1}{1+\sqrt[3]{x}} e pede a área da região limitada por essa curva, pelas retas x=0, x=1 e pelo eixo x.
As perguntas que vamos responder: calcular a área dessa região (ou seja, o valor numérico da integral correspondente).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é y=\dfrac{1}{1+\sqrt[3]{x}}.
  • As abscissas que limitam a região são x=0 e x=1.
  • O limite inferior em y é o eixo x (ou seja, y=0).

Passo 2

Para achar a área de uma região entre o gráfico de uma função não negativa y=f(x) e o eixo x no intervalo [a,b], usamos a integral definida
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
Aqui f(x)=\dfrac{1}{1+\sqrt[3]{x}}. Primeiro verificamos o sinal de f em [0,1]: como \sqrt[3]{x}\in[0,1] para x\in[0,1], tem-se 1+\sqrt[3]{x}\in[1,2] e assim f(x)\in\left[\tfrac{1}{2},1\right], ou seja, f(x)>0. Portanto a área pedida é
\text{Área}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+\sqrt[3]{x}}\,dx.Á

Passo 3

Para calcular a integral é natural tirar a radiciação do denominador trocando a variável por u=\sqrt[3]{x}, pois então x=u^{3}. Fazemos a substituição:
x=u^{3}\quad\Rightarrow\quad dx=3u^{2}\,du.
Os limites mudam: x=0\Rightarrow u=0 e x=1\Rightarrow u=1. Substituindo na integral:
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+\sqrt[3]{x}}\,dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{1+u}\cdot 3u^{2}\,du = 3\int_{0}^{1}\frac{u^{2}}{1+u}\,du.

Passo 4

Agora simplificamos a função racional \dfrac{u^{2}}{1+u} por divisão algébrica. Fazendo a divisão de polinômios:
\frac{u^{2}}{1+u} = u-1 + \frac{1}{1+u}.
Explicando: (1+u)(u-1)=u^{2}-1, então u^{2}=(1+u)(u-1)+1, o que dá a decomposição acima. Assim a integral fica
3\int_{0}^{1}\left(u-1+\frac{1}{1+u}\right)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo. Usamos as regras básicas:
  • Regra da potência: \displaystyle\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}.
  • Integral de constante: \displaystyle\int 1\,du = u.
  • Integral da função recíproca linear: \displaystyle\int \frac{1}{1+u}\,du=\ln(1+u) (logaritmo natural).
    Aplicando:
3\left[\frac{u^{2}}{2}-u+\ln(1+u)\right]_{0}^{1}.

Passo 6

Avaliamo o termo entre colchetes nos limites:
No limite superior u=1:
\frac{1^{2}}{2}-1+\ln(1+1)=\frac{1}{2}-1+\ln 2=-\frac{1}{2}+\ln 2.
No limite inferior u=0:
\frac{0^{2}}{2}-0+\ln(1+0)=0.
Subtraindo e multiplicando por 3,
\text{Área}=3\left(-\frac{1}{2}+\ln 2\right)=3\ln 2-\frac{3}{2}.Á
Se quiser uma aproximação numérica rápida: 3\ln 2\approx3\cdot0{,}6931\approx2{,}0793, então a área \approx0{,}5793.

Resposta

3\ln 2-\dfrac{3}{2}

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