Calcule a área da região delimitada pelas curvas:
e o eixo
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede a área da região limitada por essa curva, pelas retas
,
e pelo eixo
.
As perguntas que vamos responder: calcular a área dessa região (ou seja, o valor numérico da integral correspondente).
Informações relevantes fornecidas:
As perguntas que vamos responder: calcular a área dessa região (ou seja, o valor numérico da integral correspondente).
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - As abscissas que limitam a região são
e . - O limite inferior em
é o eixo (ou seja, ).
Passo 2
Para achar a área de uma região entre o gráfico de uma função não negativa
e o eixo
no intervalo
, usamos a integral definida
Aqui
. Primeiro verificamos o sinal de
em
: como
para
, tem-se
e assim
, ou seja,
. Portanto a área pedida é
Passo 3
Para calcular a integral é natural tirar a radiciação do denominador trocando a variável por
, pois então
. Fazemos a substituição:
Os limites mudam:
e
. Substituindo na integral:
Passo 4
Agora simplificamos a função racional
por divisão algébrica. Fazendo a divisão de polinômios:
Explicando:
, então
, o que dá a decomposição acima. Assim a integral fica
Passo 5
Integramos termo a termo. Usamos as regras básicas:
- Regra da potência:
. - Integral de constante:
. - Integral da função recíproca linear:
(logaritmo natural).
Aplicando:
Passo 6
Avaliamo o termo entre colchetes nos limites:
No limite superior :
No limite superior
No limite inferior
:
Subtraindo e multiplicando por
,
Se quiser uma aproximação numérica rápida:
, então a área
.