Calcule as integrais:
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \operatorname{sen} 6 x \cos 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\operatorname{sen}(6x)\cos(3x)\,dx.
O conteúdo usado será identidades trigonométricas para produto de seno e cosseno e simetria de funções ímpares.

Passo 2

Aplicamos a identidade de produto para transformar \operatorname{sen} A\cos B em soma de senos:
\operatorname{sen}(6x)\cos(3x) =\tfrac12\bigl[\operatorname{sen}\bigl(6x+3x\bigr)+\operatorname{sen}\bigl(6x-3x\bigr)\bigr] =\tfrac12\bigl[\operatorname{sen}(9x)+\operatorname{sen}(3x)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\operatorname{sen}(6x)\cos(3x)\,dx =\tfrac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\operatorname{sen}(9x)\,dx +\tfrac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\operatorname{sen}(3x)\,dx.

Passo 4

Note que \operatorname{sen}(9x) e \operatorname{sen}(3x) são funções ímpares, pois \operatorname{sen}(-k x)=-\operatorname{sen}(k x). A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Logo cada uma das integrais acima vale zero.

Resposta

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