Calcule as integrais:
\int\left(\sqrt[7]{x^{3}}+\operatorname{sen} \frac{x}{5}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\Bigl(\sqrt[7]{x^{3}}+\operatorname{sen}\tfrac{x}{5}\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolve a regra da potência para \int x^n dx e a integral de \operatorname{sen}, que pode ser feita por substituição.

Passo 2

Reescrevo \sqrt[7]{x^{3}} como x^{3/7} e separo a integral em duas partes:
\int\Bigl(\sqrt[7]{x^{3}}+\operatorname{sen}\tfrac{x}{5}\Bigr)\,dx = \int x^{\frac{3}{7}}\,dx + \int \operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{x}{5}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Para \int x^{\frac{3}{7}}\,dx, aplico a regra da potência:
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\frac{3}{7}, então n+1=\frac{10}{7} e
\int x^{\frac{3}{7}}\,dx = \frac{x^{\frac{10}{7}}}{\frac{10}{7}} = \frac{7}{10}\,x^{\frac{10}{7}}.

Passo 4

Para \int \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{x}{5}\bigr)\,dx, uso a substituição
u = \frac{x}{5}, \quad du = \frac{dx}{5}, \quad dx = 5\,du.
Então
\int \operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{x}{5}\Bigr)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,5\,du = 5\int \operatorname{sen}(u)\,du = -5\cos(u) = -5\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{5}\Bigr).

Resposta

\int\Bigl(\sqrt[7]{x^{3}}+\operatorname{sen}\tfrac{x}{5}\Bigr)\,dx = \frac{7}{10}\,x^{\frac{10}{7}} \;-\;5\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{5}\Bigr) \;+\;C.

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