Calcule as integrais:
Passo 1
Enunciado: calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - O pedido é obter o valor da integral definida.
Passo 2
Observação sobre a estrutura do integrando (aula prática de técnica): quando temos uma função composta do tipo
multiplicada por algo que é proporcional à derivada de
(aqui aparece
), a técnica natural é a substituição. Vou explicar isso com calma.
Definimos a substituição
Agora calculamos a diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
ou seja
Isolando
temos
Isso é útil porque o fator
no integrando será substituído por
, e a parte
vira
. Sempre que fizer uma substituição em integrais definidas, é importante trocar também os limites de integração usando a relação
.
Passo 3
Troca dos limites: quando
temos
e quando
temos
Agora substituímos tudo na integral original. Usando
e
, obtemos
Passo 4
Agora integramos a função exponencial
. Lembrete (mini-aula): a antiderivada de
é
para constante
. No caso
, a antiderivada de
é
. Então
Aplicando isso à integral com limites, temos
Agora avaliamos nos limites:
Portanto
Passo 5
Interpretação e dica de prova: o termo
é extremamente pequeno (próximo de
), então numericamente a integral é praticamente
, mas em prova prefira sempre apresentar a forma exata
. O passo-chave para esse tipo de integral é notar que a derivada do expoente aparece multiplicando a exponencial — aí a substituição
(expoente) simplifica tudo.