Calcule as integrais:
\int_{1}^{3} t^{2} e^{-t^{3}} d t

Passo 1

Enunciado: calcular a integral
\int_{1}^{3} t^{2} e^{-t^{3}} \, dt.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é t^{2} e^{-t^{3}}.
  • Os limites de integração são t=1 (inferior) e t=3 (superior).
  • O pedido é obter o valor da integral definida.

Passo 2

Observação sobre a estrutura do integrando (aula prática de técnica): quando temos uma função composta do tipo e^{-t^{3}} multiplicada por algo que é proporcional à derivada de -t^{3} (aqui aparece t^{2}), a técnica natural é a substituição. Vou explicar isso com calma.
Definimos a substituição
u = t^{3}.
Agora calculamos a diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a t obtemos
\frac{du}{dt}=3t^{2},
ou seja
du = 3t^{2}\,dt.
Isolando t^{2}\,dt temos
t^{2}\,dt = \frac{1}{3}\,du.
Isso é útil porque o fator t^{2}\,dt no integrando será substituído por \frac{1}{3}\,du, e a parte e^{-t^{3}} vira e^{-u}. Sempre que fizer uma substituição em integrais definidas, é importante trocar também os limites de integração usando a relação u=t^{3}.

Passo 3

Troca dos limites: quando t=1 temos
u = 1^{3}=1,
e quando t=3 temos
u = 3^{3}=27.
Agora substituímos tudo na integral original. Usando t^{2}\,dt=\dfrac{1}{3}\,du e e^{-t^{3}}=e^{-u}, obtemos
\int_{1}^{3} t^{2} e^{-t^{3}} \, dt = \int_{u=1}^{u=27} e^{-u}\left(\frac{1}{3}\,du\right) = \frac{1}{3}\int_{1}^{27} e^{-u}\,du.

Passo 4

Agora integramos a função exponencial e^{-u}. Lembrete (mini-aula): a antiderivada de e^{au} é \dfrac{1}{a}e^{au} para constante a\neq0. No caso a=-1, a antiderivada de e^{-u} é -e^{-u}. Então
\int e^{-u}\,du = -e^{-u} + C.
Aplicando isso à integral com limites, temos
\frac{1}{3}\int_{1}^{27} e^{-u}\,du = \frac{1}{3}\left[-e^{-u}\right]_{1}^{27}.
Agora avaliamos nos limites:
\left[-e^{-u}\right]_{1}^{27} = -e^{-27} - \big(-e^{-1}\big) = -e^{-27}+e^{-1}.
Portanto
\frac{1}{3}\left[-e^{-u}\right]_{1}^{27} = \frac{1}{3}\big(e^{-1}-e^{-27}\big).

Passo 5

Interpretação e dica de prova: o termo e^{-27} é extremamente pequeno (próximo de 1{,}9\times 10^{-12}), então numericamente a integral é praticamente \dfrac{1}{3}e^{-1}, mas em prova prefira sempre apresentar a forma exata \dfrac{1}{3}\big(e^{-1}-e^{-27}\big). O passo-chave para esse tipo de integral é notar que a derivada do expoente aparece multiplicando a exponencial — aí a substituição u= (expoente) simplifica tudo.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\big(e^{-1}-e^{-27}\big)

Exercícios relacionados